Fonction de Morse

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En analyse, une fonction de Morse est une fonction différentiable de classe au moins ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$ dont les points critiques sont non dégénérés. La notion fut introduite par Marston Morse en 1925^[1]. En topologie différentielle, l'utilisation des fonctions de Morse s'est avérée centrale dans la preuve du théorème du h-cobordisme (en).

Soit ${\displaystyle f}$ une fonction numérique de classe au moins ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$ définie soit sur un ouvert ${\displaystyle U}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ soit sur une variété différentielle ${\displaystyle M}$.

Définitions :

• Un point ${\displaystyle x}$ du domaine de ${\displaystyle f}$ est dit être un point critique de la fonction ${\displaystyle f}$ si la différentielle de ${\displaystyle f}$ est nulle en ${\displaystyle x}$, i.e. si ${\displaystyle \mathrm {d} f|_{x}=0}$.
• Un point critique ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle f}$ est dit non dégénéré si la hessienne de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle x}$ est non dégénérée.
• La fonction ${\displaystyle f}$ est dite fonction de Morse si ses points critiques sont tous non dégénérés.
• L'indice de Morse ${\displaystyle \mathrm {ind} (x)}$ d'un point critique ${\displaystyle x}$ d'une fonction de Morse ${\displaystyle f}$ est le nombre de valeurs propres négatives de la hessienne de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle x}$.

En vertu du lemme de Morse, autour de tout point critique ${\displaystyle x}$ d'une fonction de Morse ${\displaystyle f}$, il existe un voisinage ouvert ${\displaystyle U}$ de ${\displaystyle x}$ et un système de coordonnées locales ${\displaystyle \{y_{i}\}_{i=1,...,n}}$ sur ${\displaystyle U}$ tel que pour tout ${\displaystyle y\in U}$ on ait :

${\displaystyle f(y)=f(x)-\sum _{i=1}^{\mathrm {ind} (x)}y_{i}^{2}+\sum _{i=\mathrm {ind} (x)+1}^{n}y_{i}^{2}}$

Ceci implique, en particulier, que les points critiques d'une fonction de Morse sont des points isolés.

Sur une variété différentielle ${\displaystyle M}$, il existe une panoplie de fonctions de Morse. En effet, l'ensemble des fonctions de Morse lisses sur ${\displaystyle M}$ forme un sous-ensemble ouvert et dense dans l'espace ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )}$ des fonctions réelles lisses sur ${\displaystyle M}$^[2].

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