Constante de Foias
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En analyse mathématique, la constante de Foias est l'unique réel α > 0 tel que la suite définie par récurrence par
Précisions
Une démonstration de l'existence et de l'unicité de ce réel a été proposée dans l'énoncé du concours général 2020 de mathématiques[2].
Ce réel, pour lequel on ne connaît pas de formule explicite, admet pour valeur approchée[3] .
La suite correspondante est équivalente à donc aussi (mais c'est un hasard[1]) à , où π est la fonction de compte des nombres premiers.
Anecdote
On peut considérer que cette constante a été obtenue par sérendipité. En effet, l'étude de cette question vient d'une coquille dans un énoncé plus simple[1] : une suite telle que
peut-elle tendre vers l'infini ?
La réponse est « non », car[4] toutes les suites de cette forme convergent vers la racine (qui vaut approximativement[5] ) de l'équation . Un autre argument consiste à remarquer que .
Notes et références
- ↑ a b et c (en) J. Ewing et C. Foias, « An Interesting Serendipitous Real Number », dans C. Caluse et G. Păun, Finite versus Infinite: Contributions to an Eternal Dilemma, Londres, Springer-Verlag, (DOI 10.1007/978-1-4471-0751-4_8, lire en ligne), p. 119-126.
- ↑ « Concours général, session 2020, mathématiques, série S »
- ↑ Pour plus de décimales, voir la suite A085848 de l'OEIS.
- ↑ (en) Eric W. Weisstein, « Foias Constant », sur MathWorld.
- ↑ Pour plus de décimales, voir la suite A085846 de l'OEIS.
Bibliographie
- (en) S. R. Finch, Mathematical Constants, Cambridge University Press, (lire en ligne), p. 430, « Foias' constant »
- (ro) Andrei Vernescu, « Constante de tip Euler generalizate », Gazeta Matematică, a : Revistă de cultură Matematica, Anul XXV(CIV) no 1, , p. 11-16 (lire en ligne), p. 15
Arithmétique et théorie des nombres