Cohomologie d'Alexander-Spanier

En mathématiques et plus particulièrement en topologie algébrique, la cohomologie d'Alexander-Spanier est une théorie cohomologique pour les espaces topologiques.

Histoire

Elle a d'abord été introduite par James Waddell Alexander II en 1935 pour le cas particulier des espaces métriques compacts, puis étendue par Edwin Spanier en 1948 à tous les espaces topologiques, sur une suggestion de A. D. Wallace.

Définition

Si X est un espace topologique et G un groupe abélien, alors on définit un complexe différentiel C dont le p-ième terme C^p est l'ensemble de toutes les fonctions de X^p+1 dans G et de différentielle d donnée par :

${\displaystyle df(x_{0},\ldots ,x_{p})=\sum _{i}(-1)^{i}f(x_{0},\ldots ,x_{i-1},x_{i+1},\ldots ,x_{p}).}$

On note C₀ le sous-complexe formé des fonctions qui s'annulent sur un voisinage de la diagonale.

On définit les groupes de cohomologie d'Alexander-Spanier H^p(X, G) comme étant les groupes de cohomologie du complexe C/C₀.

Variantes

Il est aussi possible de définir l'homologie d'Alexander-Spanier (William Massey, 1978) et la cohomologie à support compact d'Alexander-Spanier (Glen Bredon (en), 1997).

Lien avec les autres théories cohomologiques

La cohomologie d'Alexander-Spanier coïncide avec la cohomologie de Čech pour les espaces paracompacts et avec la cohomologie singulière pour les complexes localement finis.

Notes et références

• (en) J. W. Alexander, On the Chains of a Complex and Their Duals, vol. 21, National Academy of Sciences (n^o 8), 1935, 509–511 p. (ISSN 0027-8424, DOI 10.1073/pnas.21.8.509, JSTOR 86360)
• (en) Glen E. Bredon, Sheaf theory, vol. 170, Berlin, New York, Springer-Verlag, coll. « Graduate Texts in Mathematics », 1997, 2nd éd., 504 p. (ISBN 978-0-387-94905-5, MR 1481706, lire en ligne)
• (en) William S. Massey, How to give an exposition of the Čech-Alexander-Spanier type homology theory, vol. 85, coll. « The American Mathematical Monthly » (n^o 2), 1978, 75–83 p. (ISSN 0002-9890, JSTOR 2321782, MR 0488017)
• (en) William S. Massey, Homology and cohomology theory. An approach based on Alexander-Spanier cochains., vol. 46, New York, Marcel Dekker Inc., coll. « Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics », 1978, 412 p. (ISBN 978-0-8247-6662-7, MR 0488016)
• (en) Edwin H. Spanier, Cohomology theory for general spaces, vol. 49, coll. « Annals of Mathematics. Second Series », 1948, 407–427 p. (ISSN 0003-486X, JSTOR 1969289, MR 0024621)

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Alexander–Spanier cohomology » (voir la liste des auteurs).

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