Analyse d'échelle

En mathématiques, l'analyse d'échelle est une méthode d'approximation utilisée pour simplifier des équations comptant plusieurs termes en comparant leur ordre de grandeur et leur influence sur le phénomène modélisé. Le principe est de garder le terme principal et de négliger les autres termes secondaires.

Prenons comme exemple les équations Équations de Navier-Stokes appliquées à l'atmosphère, uniquement pour la composante verticale :

${\displaystyle {{\partial w} \over {\partial t}}+u{\frac {\partial w}{\partial x}}+v{\frac {\partial w}{\partial y}}+w{\frac {\partial w}{\partial z}}-{\frac {u^{2}+v^{2}}{R}}=-{{\frac {1}{\varrho }}{\frac {\partial p}{\partial z}}}-g+2{\Omega u\cos \varphi }+\nu \left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}\right),\qquad (1)}$

ou R est le rayon de la Terre, Ω est la vitesse de rotation de la terres, g est la gravité, φ est la latitude ρ est la densité de l'air et ν est la viscosité cinématique de l'air (les turbulences en atmosphère libre sont négligées ).

Les relevés réels sur l'atmosphère de notre planète donnent :

• Vitesse horizontale de l'ordre de U = 10¹ m s⁻¹ et vertical de l'ordre de W = 10⁻² m s⁻¹.
• La dimension horizontale est L = 10⁶ m et la dimension verticale est H = 10⁴ m.
• L'ordre de grandeur du temps mis en jeu est T = L/U = 10⁵ s.
• La différence de pression dans la troposphère est ΔP = 10⁴ Pa
• La densité de l'air ρ = 10⁰ kg m⁻³.
• Les autres grandeurs physiques sont approximativement :

R = 6,378 × 10⁶ m ;

Ω = 7,292 × 10⁻⁵ rad s⁻¹ ;

ν = 1,46 × 10⁻⁵ m s⁻¹ ;

g = 9,81 m s⁻².

Estimer les différents termes dans l'équation (1) peut être fait en utilisant la méthode :

${\displaystyle {\begin{aligned}{{\partial w} \over {\partial t}}&\sim {\frac {W}{T}}\\[1.2ex]u{\frac {\partial w}{\partial x}}&\sim U{\frac {W}{L}}&\qquad v{\frac {\partial w}{\partial y}}&\sim U{\frac {W}{L}}&\qquad w{\frac {\partial w}{\partial z}}&\sim W{\frac {W}{H}}\\[1.2ex]{\frac {u^{2}}{R}}&\sim {\frac {U^{2}}{R}}&\qquad {\frac {v^{2}}{R}}&\sim {\frac {U^{2}}{R}}\\[1.2ex]{\frac {1}{\varrho }}{\frac {\partial p}{\partial z}}&\sim {\frac {1}{\varrho }}{\frac {\Delta P}{H}}&\qquad \Omega u\cos \varphi &\sim \Omega U\\[1.2ex]\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}&\sim \nu {\frac {W}{L^{2}}}&\qquad \nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}&\sim \nu {\frac {W}{L^{2}}}&\qquad \nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}&\sim \nu {\frac {W}{H^{2}}}\end{aligned}}}$

Maintenant il faut introduire les échelles et leurs valeurs dans l'équation (1) :

${\displaystyle {\frac {10^{-2}}{10^{5}}}+10{\frac {10^{-2}}{10^{6}}}+10{\frac {10^{-2}}{10^{6}}}+10^{-2}{\frac {10^{-2}}{10^{4}}}-{\frac {10^{2}+10^{2}}{10^{6}}}}$

${\displaystyle =-{{\frac {1}{1}}{\frac {10^{4}}{10^{4}}}}-10+2\times 10^{-4}\times 10+10^{-5}\left({\frac {10^{-2}}{10^{12}}}+{\frac {10^{-2}}{10^{12}}}+{\frac {10^{-2}}{10^{8}}}\right).\qquad (2)}$

Force est de constater que quasiment tous les termes de l'équation (2) sont négligeables. Il reste comme valeur non négligeable :

${\displaystyle 0=-{{\frac {1}{1}}{\frac {10^{4}}{10^{4}}}}-10.\qquad (3)}$

Cela simplifie drastiquement l'équation, et il ne reste que les termes de (3), soit l'équation simplifiée suivante :

${\displaystyle {{\frac {1}{\varrho }}{\frac {\partial p}{\partial z}}}=-g}$

• Approximation

• (en) Barenblatt, G. I., Scaling, self-similarity, and intermediate asymptotics : Dimensional Analysis and Intermediate Asymptotics, Cambridge, Cambridge University Press, 1996, 386 p., poche (ISBN 978-0-521-43522-2, LCCN 95048212, lire en ligne)
• (en) Tennekes, H. et Lumley, John L., A first course in turbulence, Cambridge, MIT Press, Cambridge, Massachutes, 1972, 14^e éd., 300 p., relié (ISBN 978-0-262-20019-6, LCCN 77165072, lire en ligne)

• Scale analysis and Reynolds numbers (www.env.leeds.ac.uk/envi2210/notes/node7.html)
• eumetcal.meteo.fr

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