Tähtimäinen alue
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/80/Star_domain.svg/250px-Star_domain.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Not-star-shaped.svg/250px-Not-star-shaped.svg.png)
Matematiikassa euklidisen avaruuden joukko S on tähtimäinen alue, jos on olemassa sellainen joukon S piste x0, että jokainen S:n piste voidaan yhdistää pisteeseen x0 janalla, joka on kokonaan S:ssä[1]. Määritelmä voidaan yleistää mielivaltaiselle reaaliselle tai kompleksiselle vektoriavaruudelle.
Esimerkkejä
- Mielivaltainen :n suora tai taso on tähtimäinen alue.
- Suora tai taso ei ole tähtimäinen alue, jos siitä on poistettu yksittäinen piste.
- Jos A on :n joukko, niin joukko , joka saadaan yhdistämällä kaikki A:n pisteet origoon, on tähtimäinen alue.
- Mikä tahansa epätyhjä kupera joukko on tähtimäinen alue. Joukko on kupera jos ja vain jos se on tähtimäinen alue jokaisen joukon pisteen suhteen.
- Ristin muotoinen kuvio on tähtimäinen muttei kupera alue.
- Tähden muotoinen monikulmio on tähtimäinen alue, jonka reuna on yhtenäisten janojen ketju.
Ominaisuudet
- Tähtimäisen alueen sulkeuma on tähtimäinen alue, mutta tähtimäisen alueen sisus ei välttämättä ole tähtimäinen alue.
- Jokainen tähtimäinen alue on kutistuva joukko suoraviivaisen homotopian kautta. Erityisesti jokainen tähtimäinen alue on yksinkertaisesti yhtenäinen joukko .
- Jokainen tähtimäinen alue ja ainoastaan tähtimäinen alue voidaan ”kutistaa itseensä”. Toisin sanoen jokaiselle kutistumissuhteelle r <1 tähtimäinen alue voidaan kutistaa suhteella r siten, että kutistettu tähtimäinen alue sisältyy alkuperäiseen tähtimäiseen alueeseen. [2]
- Kahden tähtimäisen alueen yhdiste ja leikkaus eivät välttämättä ole tähtimäisiä alueita.
- Epätyhjä ja avoin :n tähtimäinen alue S on diffeomorfinen :lle.
Katso myös
- Taidemuseo-ongelma
- Tähtimonikulmio
- Tasapainoinen joukko
Lähteet
- Ian Stewart, David Tall: Complex Analysis. Cambridge University Press, 1983, ISBN 0-521-28763-4.
- C.R. Smith: A characterization of star-shaped sets, American Mathematical Monthly, 75. vsk, s. 386.
Viitteet
Aiheesta muualla
- Humphreys, Alexis. "Star convex". MathWorld.