Nilpotentti matriisi

Nilpotentti matriisi on sellainen n×n-neliömatriisi, että jollakin kokonaisluvulla q

${\displaystyle A^{q}=O\,}$,

missä ${\displaystyle O}$ on nollamatriisi. Esimerkiksi matriisi

${\displaystyle N={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}.}$

on nilpotentti, sillä ${\displaystyle N^{4}=O}$.

Nilpotentilla n×n-matriisilla M on seuraavat ominaisuudet:

1. Pienin kokonaisluku q, jolla ${\displaystyle M^{q}=O}$ on pienempi tai yhtä suuri kuin n.
2. Matriisi M on nilpotentti jos ja vain jos sen kaikki ominaisarvot ovat nollia.
3. Matriisin M karakteristinen polynomi on ${\displaystyle \lambda ^{n}}$.
4. Sekä matriisin M jälki että sen determinantti ovat nollia.

Lisäksi

• Jokainen kolmiomatriisi, jonka päälävistäjän alkiot ovat nollia on nilpotentti.

• Idempotentti matriisi