Tarkkailijat E ja L havainnoivat joen mukanaan kuljettamaa suuretta Q {\textstyle Q} . Tarkkailija E seisoo rannalla ja mittaa suureen muutosnopeutta kiinteässä pisteessä (nk. Eulerin havaintokoordinaatisto). Tarkkailija L liikkuu virtauksen mukana ja mittaa suureen Q {\textstyle Q} muuttumisnopeutta (nk. Lagrangen havaintokoordinaatistossa). Tarkkailijan L mittaustulos on suureen Q {\textstyle Q} materiaaliderivaatta. Materiaaliderivaatta on virtausmekaniikassa tapa esittää paikasta ja ajasta riippuvan virtauksen mukana kulkevan suureen (esimerkiksi paine tai liikemäärä ) muutosta ajan suhteen. Materiaaliderivaatta antaa työkalun yhdistää kyseisen suureen muutosnopeuden havainnot sekä virtauksen ulkopuolisen (nk. Eulerin havaintokoordinaatisto) että virtauksen mukana kulkevan (nk. Lagrangen havaintokoordinaatisto) tarkkailijan näkökulmista.[ 1]
Jos virtauksen nopeus on ajasta ja paikasta riippuva vektorikenttä v ( x , y , z , t ) {\textstyle \mathbf {v} (x,y,z,t)} ja Q ( x , y , z , t ) {\textstyle Q(x,y,z,t)} on jokin virtauksen mukana kulkeva suure, niin Q {\textstyle Q} :n materiaaliderivaatta on
d Q d t = ∂ Q ∂ t + ( v ⋅ ∇ ) Q {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial Q}{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )Q}
Materiaaliderivaattaa merkitään joskus myös D / D t {\displaystyle \mathrm {D} /\mathrm {D} t} korostamaan sitä, että siinä on useita eri derivaattatermejä ja että se seuraa tiettyä virtauksen materiaalipistettä.[ 2]
Lausekkeen johtaminen Olkoon nopeusvektorikenttä paikan ja ajan funktio siten, että v ( x , y , z , t ) = v x ( x , y , z , t ) i + v y ( x , y , z , t ) j + v z ( x , y , z , t ) k {\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z,t)=v_{x}(x,y,z,t)\,\mathbf {i} +v_{y}(x,y,z,t)\,\mathbf {j} +v_{z}(x,y,z,t)\,\mathbf {k} } . Olkoon lisäksi Q ( x , y , z , t ) {\textstyle Q(x,y,z,t)} paikasta ja ajasta riippuva derivoituva funktio. Derivoidaan Q {\textstyle Q} ajan suhteen käyttäen ketjusääntöä :
d Q d t = ∂ Q ∂ t + ∂ Q ∂ x d x d t + ∂ Q ∂ y d y d t + ∂ Q ∂ z d z d t {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial Q}{\partial t}}+{\frac {\partial Q}{\partial x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial Q}{\partial z}}{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}}
Toisaalta nopeusvektorin komponentit ovat v x = d x / d t {\textstyle v_{x}=\mathrm {d} x/\mathrm {d} t} , v y = d y / d t {\textstyle v_{y}=\mathrm {d} y/\mathrm {d} t} ja v z = d z / d t {\textstyle v_{z}=\mathrm {d} z/\mathrm {d} t} . Sijoitetaan tämä tieto edelliseen yhtälöön:
d Q d t = ∂ Q ∂ t + v x ∂ Q ∂ x + v y ∂ Q ∂ y + v z ∂ Q ∂ z {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial Q}{\partial t}}+v_{x}{\frac {\partial Q}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial Q}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial Q}{\partial z}}}
Lisäksi
v ⋅ ∇ = ( v x i + v y j + v z k ) ⋅ ( i ∂ ∂ x + j ∂ ∂ y + k ∂ ∂ z ) = v x ∂ ∂ x + v y ∂ ∂ y + v z ∂ ∂ z {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} \cdot \nabla &=(v_{x}\mathbf {i} +v_{y}\mathbf {j} +v_{z}\mathbf {k} )\cdot \left(\mathbf {i} {\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {j} {\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {k} {\frac {\partial }{\partial z}}\right)\\&=v_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\end{aligned}}}
Näin ollen voidaan kirjoittaa
d Q d t = ∂ Q ∂ t + ( v x ∂ ∂ x + v y ∂ ∂ y + v z ∂ ∂ z ) Q = ∂ Q ∂ t + ( v ⋅ ∇ ) Q {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial Q}{\partial t}}+\left(v_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)Q={\frac {\partial Q}{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )Q}
Esimerkkejä Olkoon koko avaruudessa kaikilla ajanhetkillä määritellyn virtauksen nopeusvektorikenttä v ( x , y , z , t ) = ( 4 t + 1 ) i + 2 x z j − t y 2 k {\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z,t)=(4t+1)\,\mathbf {i} +2xz\,\mathbf {j} -ty^{2}\,\mathbf {k} } . Selvitetään virtauksen mukana kulkevan partikkelin kokema kiihtyvyys.
Kiihtyvyys on partikkelin nopeuden derivaatta ajan suhteen. Hyödynnetään materiaaliderivaattaa:
a = d v d t = ∂ v ∂ t + ( v ⋅ ∇ ) v = ∂ v ∂ t + v x ∂ v ∂ x + v y ∂ v ∂ y + v z ∂ v ∂ z {\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} ={\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+v_{x}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial z}}}
Lasketaan ensin derivaatat erikseen:
∂ v ∂ t = ∂ ∂ t ( ( 4 t + 1 ) i + 2 x z j − t y 2 k ) = 4 i − y 2 k v x ∂ v ∂ x = ( 4 t + 1 ) ∂ ∂ x ( ( 4 t + 1 ) i + 2 x z j − t y 2 k ) = ( 4 t + 1 ) ⋅ 2 z j = ( 8 t z + 2 z ) j v y ∂ v ∂ y = 2 x z ∂ ∂ y ( ( 4 t + 1 ) i + 2 x z j − t y 2 k ) = 2 x z ⋅ ( − 2 t y k ) = − 4 t x y z k v z ∂ v ∂ z = − t y 2 ∂ ∂ z ( ( 4 t + 1 ) i + 2 x z j − t y 2 k ) = − t y 2 ⋅ 2 x j = − 2 t x y 2 j {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}&={\frac {\partial }{\partial t}}\left((4t+1)\,\mathbf {i} +2xz\,\mathbf {j} -ty^{2}\,\mathbf {k} \right)=4\,\mathbf {i} -y^{2}\,\mathbf {k} \\v_{x}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial x}}&=(4t+1){\frac {\partial }{\partial x}}\left((4t+1)\,\mathbf {i} +2xz\,\mathbf {j} -ty^{2}\,\mathbf {k} \right)=(4t+1)\cdot 2z\,\mathbf {j} =(8tz+2z)\,\mathbf {j} \\v_{y}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial y}}&=2xz{\frac {\partial }{\partial y}}\left((4t+1)\,\mathbf {i} +2xz\,\mathbf {j} -ty^{2}\,\mathbf {k} \right)=2xz\cdot (-2ty\,\mathbf {k} )=-4txyz\,\mathbf {k} \\v_{z}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial z}}&=-ty^{2}{\frac {\partial }{\partial z}}\left((4t+1)\,\mathbf {i} +2xz\,\mathbf {j} -ty^{2}\,\mathbf {k} \right)=-ty^{2}\cdot 2x\,\mathbf {j} =-2txy^{2}\,\mathbf {j} \\\end{aligned}}}
Yhdistetään tulokset ja kirjoitetaan kiihtyvyysvektori:
a ( x , y , z , t ) = 4 i − y 2 k + ( 8 t z + 2 z ) j − 4 t x y z k − 2 t x y 2 j = 4 i + ( 8 t z + 2 z − 2 t x y 2 ) j + ( y 2 − 2 t x y 2 ) k {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} (x,y,z,t)&=4\,\mathbf {i} -y^{2}\,\mathbf {k} +(8tz+2z)\,\mathbf {j} -4txyz\,\mathbf {k} -2txy^{2}\,\mathbf {j} \\&=4\,\mathbf {i} +(8tz+2z-2txy^{2})\,\mathbf {j} +(y^{2}-2txy^{2})\,\mathbf {k} \end{aligned}}}
Katso myös
Lähteet ↑ White, Frank M.: Fluid Mechanics, Seventh Edition in SI Units , s. 236. McGraw-Hill, 2011. ISBN 978-007-131121-2. (englanniksi) ↑ White, s. 237