Jacobin polynomi

Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.

Matematiikassa Jacobin polynomit ovat luokka ortogonaalisia polynomeja. Ne saadaan hypergeometrisista sarjoista, missä sarjasta otetaan mukaan vain äärellisen monta termiä:

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;{\frac {1-z}{2}}\right),}$

missä ${\displaystyle (\alpha +1)_{n}}$ on Pochhammerin symboli), (Abramowitz & Stegun p561.) ja siten sillä on olemassa eksplisiittinen lauseke

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m},}$

missä

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}.}$

Tässä kokonaisluvulle ${\displaystyle n\,}$ on voimassa

${\displaystyle {z \choose n}={\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1)}},}$

ja ${\displaystyle \Gamma (z)\,}$ on Gammafunktio, jolle ${\displaystyle 1/\Gamma (n+1)=0\,}$ kaikilla ${\displaystyle n=-1,-2,\dots \,}$. Siten

${\displaystyle {z \choose n}=0\quad {\hbox{for}}\quad n<0.}$

Polynomit toteuttavat ortogonaalisuusehdon

${\displaystyle \int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\;dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm},}$

kun ${\displaystyle \alpha >-1}$ ja ${\displaystyle \beta >-1}$.

Polynomeilla on symmetrisyysehto

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(z),}$ ja siten

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.}$

Reaaliluvuilla ${\displaystyle x}$ Jacobin polynomi voidaan kirjoittaa muodossa

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=\sum _{s}{n+\alpha \choose s}{n+\beta \choose n-s}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s},}$

missä ${\displaystyle s\geq 0\,}$ ja ${\displaystyle n-s\geq 0\,}$. Jos neljä suuretta ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle n+\alpha }$, ${\displaystyle n+\beta }$, and ${\displaystyle n+\alpha +\beta }$ ovat epänegatiivisia kokonaislukuja, voidaan Jacobin polynomi kirjoittaa muodossa

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum _{s}\left[s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!\right]^{-1}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}.}$

Summa voidaan laajentaa kaikille kokonaislukuarvoille, joilla kertomien argumentit ovat epänegatiivisia.

Tämä mahdollistaa Wignerin D-matriisin esittämisen Jacobin polynomiel avulla ${\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )\;}$ (${\displaystyle 0\leq \phi \leq 4\pi }$) viite: L. C. Biedenharn and J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, Addison-Wesley, Reading, (1981)

${\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )=\left[{\frac {(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}}\right]^{1/2}\left(\sin {\frac {\phi }{2}}\right)^{m-m'}\left(\cos {\frac {\phi }{2}}\right)^{m+m'}P_{j-m}^{(m-m',m+m')}(\cos \phi ).}$

Jacobin polynomien k:nnes derivaatta johtaa esitykseen

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} z^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(z).}$

Jacobi polynomiat ${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}$ ovat ratkaisuna yhtälölle

${\displaystyle (1-x^{2})y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'+n(n+\alpha +\beta +1)y=0.\,}$