Darboux’n kehys

Tähän artikkeliin tai sen osaan on merkitty lähteitä, mutta niihin ei viitata. Älä poista mallinetta ennen kuin viitteet on lisätty. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkelille asianmukaisia viitteitä. Lähteettömät tiedot voidaan kyseenalaistaa tai poistaa.

Darboux’n kehys on pintojen differentiaaligeometriassa kolmen vektorin joukko eli kehys. Se on nimetty ranskalaisen matemaatikon Jean Gaston Darboux’n mukaan.

Olkoon S suunnistuva pinta kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa E³. Darboux’n kehys pinnalla S voidaan määritellä kaikille pinnan S. Tämän jälkeen on mielekästä tarkastella pääsuuntien suuntaisia käyriä.

Jokaiseen suunnistuvan pinnan pisteeseen voidaan liittää yksikäsitteinen yksikkövektori u (suunnistuvan pinnan määritelmä). Jos γ kaarenpituuden suhteen parametrisoitu käyrä pinnalla S, Darboux’n kehys käyrälle γ pisteessä γ(s) määritellään asettamalla

${\displaystyle \mathbf {T} (s)=\gamma '(s),}$    (yksikkötangentti)

${\displaystyle \mathbf {u} (s)=\mathbf {u} (\gamma (s)),}$    (yksikkönormaali)

${\displaystyle \mathbf {t} (s)=\mathbf {u} (s)\times \mathbf {T} (s),}$    (tangenttinormaali)

Kolmikko T,u,t on ortonormaali kanta, joten se on luonteva kehys käyrän γ näkökulmasta.

Huomaa, että käyrälle määritelty Darboux’n kehys ei vielä anna luonnollista liikkuvaa kehystä pinnalla, koska se riippuu tangenttivektorin valinnasta. Saadaksemme luonnollisen kehyksen pinnalle, vertaamme käyrän γ Darboux’n kehystä sen Frenet–Serret kehykseen. Olkoon

${\displaystyle \mathbf {T} (s)=\gamma '(s),}$    (yksikkötangentti, kuten edellä)

${\displaystyle \mathbf {N} (s)={\frac {\mathbf {T} '(s)}{\|\mathbf {T} '(s)\|}},}$    (Frenet-normaalivektori)

${\displaystyle \mathbf {B} (s)=\mathbf {T} (s)\times \mathbf {N} (s),}$    (Frenet-binormaalivektori).

Koska tangenttivektorit ovat kehyksissä samat, on olemassa yksikäsitteinen kulma α siten, että tasojen N ja B kiertäminen tuottaa parit t ja u:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &\sin \alpha \\0&-\sin \alpha &\cos \alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}.}$

Derivoimalla ja käyttämällä Frenet–Serret-kaavoja saadaan

${\displaystyle d{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\kappa \cos \alpha \,ds&-\kappa \sin \alpha \,ds\\-\kappa \cos \alpha \,ds&0&\tau \,ds+d\alpha \\\kappa \sin \alpha \,ds&-\tau \,ds-d\alpha &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}}$

${\displaystyle ={\begin{bmatrix}0&\kappa _{g}\,ds&\kappa _{n}\,ds\\-\kappa _{g}\,ds&0&\tau _{r}\,ds\\-\kappa _{n}\,ds&-\tau _{r}\,ds&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}}$

missä:

• κ_g on käyrän geodeettinen kaarevuus,
• κ_n on käyrän normaalikaarevuus ja
• τ_r on käyrän suhteellinen torsio (ts. geodeettinen torsio).

Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Darboux frame

• Cartan, Élie (1937). La théorie des groupes finis et continus et la géométrie différentielle traitées par la méthode du repère mobile. Gauthier-Villars. 
• Cartan, É (Appendices by Hermann, R.) (1983). Geometry of Riemannian spaces. Math Sci Press, Massachusetts. 
• Darboux, Gaston (1887,1889,1896). Leçons sur la théorie génerale des surfaces: Volume I, Volume II, Volume III, Volume IV. Gauthier-Villars. 
• Guggenheimer, Heinrich (1977). "Chapter 10. Surfaces", Differential Geometry. Dover. ISBN 0-486-63433-7. 
• Spivak, Michael (1999). A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 3). Publish or Perish. ISBN 0-914098-72-1. 
• Spivak, Michael (1999). A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 4). Publish or Perish. ISBN 0-914098-73-X.