Topologías en espacios de aplicaciones lineales
En matemáticas, particularmente en análisis funcional, los espacios de aplicaciones lineales entre dos espacios vectoriales pueden estar dotados de una variedad de topologías, dando lugar a las topologías en espacios de aplicaciones lineales. El estudio del espacio de aplicaciones lineales y de estas topologías puede dar una idea de los propios espacios.
El artículo topologías de operadores analiza las topologías en espacios de aplicaciones lineales entre espacios vectoriales normados, mientras que este artículo analiza topologías en dichos espacios en el entorno más general de los espacios vectoriales topológicos (EVTs).
Topologías de convergencia uniforme sobre espacios arbitrarios de aplicaciones
En todo momento se asume lo siguiente:
- es cualquier conjunto no vacío y es una colección no vacía de subconjuntos de dirigido por la inclusión de subconjuntos (es decir, para cualquier existe algún tal que ).
- es un espacio vectorial topológico (no necesariamente de Hausdorff o localmente convexo).
- es una base de entornos de 0 en
- es un subespacio vectorial de [nota 1] que denota el conjunto de todas las funciones con valores con dominio
Topología 𝒢
Los siguientes conjuntos constituirán los subconjuntos abiertos básicos de las topologías en espacios de aplicaciones lineales. Para cualquier subconjunto y sea
La familia
forma una base de entornos[1] en el origen de una topología invariante a la traslación única en donde esta topología no es necesariamente una topología vectorial (es decir, es posible que no convierta a en un EVT). Esta topología no depende de la base de entornos que se eligió y se conoce como topología de convergencia uniforme en los conjuntos en o como topología .[2] Sin embargo, este nombre se cambia con frecuencia según los tipos de conjuntos que componen (por ejemplo, la "topología de convergencia uniforme en conjuntos compactos" o la "topología de convergencia compacta"; consúltese la nota al pie para obtener más detalles[3]).
Se dice que un subconjunto de es fundamental con respecto a si cada es un subconjunto de algún elemento en En este caso, la colección se puede reemplazar por sin cambiar la topología en [2]. También se puede reemplazar con la colección de todos los subconjuntos de todas las uniones finitas de elementos de sin cambiar la topología resultante en [4].
Un subconjunto de se denomina -acotado si es un subconjunto acotado de para cada [5]
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Propiedades
A continuación se describen las propiedades de los conjuntos abiertos básicos, así que supóngase que y Entonces, es un subconjunto absorbente de si y solo si para todo absorbe .[6] Si es equilibrado[6] (respectivamente, convexo), entonces también lo es
La igualdad
siempre se mantiene. Si es un escalar, entonces de modo que en particular, [6] Además,[4]
y de manera similar[5]
Para cualquier subconjunto y cualquier subconjunto no vacío [5]
lo que implica que:
- si entonces [6]
- si entonces
- Para cualquier y subconjuntos de si entonces :
Para cualquier familia de subconjuntos de y cualquier familia de entornoos del origen en [4]
Estructura uniforme
Para cualquier y , sea cualquier acompañamiento de (donde está dotado de su uniformidad canónica), sea
Dado la familia de todos los conjuntos , ya que abarca cualquier sistema fundamental de acompañamientos de , forma un sistema fundamental de acompañamientos para una estructura uniforme en denominada uniformidad de la convergencia uniforme en , o simplemente estructura uniforme de convergencia de .[7] La estructura uniforme de convergencia es el límite superior mínimo de todas las estructuras uniformes de convergencia ya que abarca [7]
Redes y convergencia uniforme
Sea y sea una red en Entonces, para cualquier subconjunto de se dice que convege uniformemente a en si para cada existe algún tal que para cada que satisfaga (o equivalentemente, para cada ).[5]
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Propiedades heredadas
Convexidad local
Si es un espacio localmente convexo, entonces también lo es la topología en , y si es una familia de seminormas continuas que generan esta topología en , entonces la topología es inducida por la siguiente familia de seminormas:
ya que varía con respecto a y varía con respecto a .[8]
Hausdorffsidad
Si es un espacio de Hausdorff y , entonces la topología en es de Hausdorff.[5]
Supóngase que es un espacio topológico. Si es de Hausdorff y es el subespacio vectorial de que consta de todas las aplicaciones continuas que están acotadas en cada y si es denso en , entonces la topología en es de Hausdorff.
Acotación
Un subconjunto de es acotado en la topología si y solo si para cada está acotado en [8]
Ejemplos de topologías 𝒢
Convergencia puntual
Si se considera que sea el conjunto de todos los subconjuntos finitos de , entonces la topología en es llamada topología de la convergencia puntual. La topología de convergencia puntual en es idéntica a la topología subespacial que hereda de cuando está dotado de la topología producto habitual.
Si es un espacio topológico de Hausdorff completamente regular no trivial y es el espacio de todas las funciones continuas con valores reales (o complejos) en la topología de la convergencia puntual en es metrizable si y solo si es numerable.[5]
Topologías 𝒢 en espacios de aplicaciones lineales continuas
En esta sección se asume que e son espacios vectoriales topológicos (EVTs). será una colección no vacía de subconjuntos de dirigido por inclusión. denotará el espacio vectorial de todas las aplicaciones lineales continuas desde a Si a se le da la topología heredada de , entonces este espacio con esta topología se denota por . El espacio dual continuo de un espacio vectorial topológico sobre el campo (que se supondrá que es real o complejo) es el espacio vectorial y se denota por .
La topología en es compatible con la estructura del espacio vectorial de si y solo si para todo y todo el conjunto está acotado en lo cual asumiremos que es el caso durante el resto del artículo. Téngase en cuenta en particular que este es el caso si consta de subconjuntos acotados (de von-Neumann) de
Supuestos sobre 𝒢
Supuestos que garantizan una topología vectorial
- ( está dirigido): será una colección no vacía de subconjuntos de dirigido por inclusión (subconjunto). Es decir, para cualquier existe tal que .
La suposición anterior garantiza que la colección de conjuntos forma una base de filtros. La siguiente suposición garantizará que los conjuntos sean equilibrados. Cada EVT tiene una base de entornos en 0 que consta de conjuntos equilibrados, por lo que esta suposición no es complicada.
- ( están equilibrados): es una base de entornos del origen en que consta enteramente de conjuntos equilibrados.
La siguiente suposición se hace muy comúnmente porque garantizará que cada conjunto sea absorbente en
- ( están acotados): se supone que consiste enteramente en subconjuntos acotados de
El siguiente teorema muestra formas en las que se puede modificar sin cambiar la topología resultante en
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Suposiciones comunes
Algunos autores (por ejemplo, Narici) requieren que cumpla la siguiente condición, lo que implica, en particular, que es un conjunto dirigido por inclusión de subconjuntos. se supone cerrado con respecto a la formación de subconjuntos de uniones finitas de conjuntos en (es decir, cada subconjunto de cada unión finita de conjuntos en pertenece a ).
Algunos autores (por ejemplo, Trèves[9]) requieren que esté dirigido bajo la inclusión de subconjuntos y que cumpla la siguiente condición:
- Si y son escalares, entonces existe un tal que
Si es una bornología en como suele ser el caso, entonces se cumplen estos axiomas. Si es una familia saturada de subconjuntos acotados de , entonces estos axiomas también se satisfacen.
Propiedades
Hausdorffsidad
Un subconjunto de un EVT cuyo sistema generador es un subconjunto denso de se dice que es un subconjunto total de Si es una familia de subconjuntos de un EVT , entonces se dice que es total en si el sistema generador de es denso en [10].
Si es el subespacio vectorial de que consta de todas las aplicaciones lineales continuas que están acotadas en cada entonces la topología en es de Hausdorff si es de Hausdorff y es total en [6]
Completitud
Para los siguientes teoremas, supóngase que es un espacio vectorial topológico e es un espacio localmente convexo de Hausdorff y es una colección de subconjuntos acotados de que recubre está dirigido por inclusión de subconjuntos y satisface la siguiente condición: si y son escalares, entonces existe un tal que
- es complete si
- es localmente convexo y de Hausdorff
- es completo, y
- cuando es una aplicación lineal, entonces restringido a cada conjunto es continuo implica que es continuo,
- Si es un espacio de Mackey, entonces está completo si y solo si tanto como son completos.
- Si es barrilado, entonces es de Hausdorff y cuasi completo.
- Sean e dos EVTs con cuasi completo y supóngase que (1) es barrilado, o bien (2) es un espacio de Baire y e son localmente convexos. Si recubre , entonces cada subconjunto equicontinuo cerrado de está completo en y es cuasi completo.[11]
- Sea un espacio bornológico, un espacio localmente convexo y una familia de subconjuntos acotados de tal que el rango de cada secuencia nula en esté contenido en algún Si es cuasi completo (respectivamente, completo), entonces también lo es .[12]
Acotado
Sean e espacios vectoriales topológicos y un subconjunto de Entonces las siguientes expresiones son equivalentes:[8]
- está acotado en .
- Por cada está acotado en .[8]
- Por cada entorno del origen en el conjunto absorbe cada
Si es un colectivo de subconjuntos acotados de cuya unión es total en , entonces cada subconjunto equicontinuo de está acotado en la topología .[11] Además, si e son espacios de Hausdorff localmente convexos, entonces
- Si está acotado en (es decir, acotado puntualmente o simplemente acotado), entonces está acotado en la topología de convergencia uniforme en los subconjuntos completos, acotados, equilibrados y convexos de [13]
- Si es cuasi completo (lo que significa que los subconjuntos cerrados y acotados están completos), entonces los subconjuntos acotados de son idénticos para todas las topologías donde es cualquier familia de subconjuntos acotados de que recubren [13]
Ejemplos
("topología de convergencia uniforme sobre...") | Notación | Nombre ("topología de...") | Nombre alternativo |
---|---|---|---|
Subconjuntos finitos de | Convergencia puntual/simple | Topología de convergencia simple | |
Subconjuntos precompactos de | Convergencia precompacta | ||
Subconjuntos convexos compactos de | Convergencia convexa compacta | ||
Subconjuntos compactos de | Convergencia compacta | ||
Subconjuntos acotados de | Convergencia acotada | Topología fuerte |
Topología de la convergencia puntual
Al permitir que sea el conjunto de todos los subconjuntos finitos de tendrá la topología débil en o la topología de convergencia puntual o la topología de convergencia simple y con esta topología se refiere como . Desafortunadamente, esta topología a veces también se denomina topología de operador fuerte, lo que puede generar ambigüedad;[6] por esta razón, este artículo evitará hacer referencia a esta topología con este nombre.
Un subconjunto de se denomina simplemente acotado o débilmente acotado si está acotado en .
La topología débil en tiene las siguientes propiedades:
- Si es separable (es decir, tiene un subconjunto denso numerable) y si es un espacio vectorial topológico metrizable, entonces cada subconjunto equicontinuo de es metrizable; si además es separable, entonces también lo es.[14]
- Entonces, en particular, en cada subconjunto equicontinuo de la topología de la convergencia puntual es metrizable.
- Sea el espacio de todas las funciones desde hasta Si a se le da la topología de convergencia puntual, entonces el espacio de todas las aplicaciones lineales (continuas o no) de a se cierra en .
- Además, es denso en el espacio de todas las aplicaciones lineales (continuas o no) en
- Supóngase que e son localmente convexos. Cualquier subconjunto simplemente acotado de está acotado cuando tiene la topología de convergencia uniforme en subconjuntos convexos, equilibrados, acotados y completos de Si además, es cuasi completo, entonces las familias de subconjuntos acotados de son idénticas para todas las topologías de en , tal que es una familia de conjuntos acotados que recubren [13]
Subconjuntos equicontinuos
- El cierre débil de un subconjunto equicontinuo de es equicontinuo.
- Si es localmente convexo, entonces la envolvente equilibrada convexa de un subconjunto equicontinuo de es equicontinua.
- Sean e dos EVTs y supóngase que (1) es barrilado, o bien (2) es un espacio de Baire y e son localmente convexos. Entonces, todo subconjunto simplemente acotado de es equicontinuo.[11]
- En un subconjunto equicontinuo de las siguientes topologías son idénticas: (1) topología de convergencia puntual en un subconjunto total de ; (2) la topología de la convergencia puntual; (3) la topología de la convergencia precompacta.[11]
Convergencia compacta
Al permitir que sea el conjunto de todos los subconjuntos compactos de tendrá la topología de convergencia compacta o la topología de convergencia uniforme en conjuntos compactos y con esta topología se denota por
La topología de convergencia compacta en tiene las siguientes propiedades:
- Si es un espacio de Fréchet o un espacio de LF y si es un espacio de Hausdorff localmente convexo completo, entonces está completo.
- En subconjuntos equicontinuos de coinciden las siguientes topologías:
- La topología de la convergencia puntual en un subconjunto denso de
- La topología de la convergencia puntual en
- La topología de la convergencia compacta.
- La topología de la convergencia precompacta.
- Si es un espacio de Montel e es un espacio vectorial topológico, entonces y tienen topologías idénticas.
Topología de convergencia acotada
Al permitir que sea el conjunto de todos los subconjuntos acotados de tendrá la topología de convergencia acotada en o la topología de convergencia uniforme en conjuntos acotados y con esta topología se denota por .[6]
La topología de convergencia limitada en tiene las siguientes propiedades:
- Si es un espacio bornológico y si es un espacio de Hausdorff localmente convexo completo, entonces está completo.
- Si e son espacios normados, entonces la topología en inducida por la norma del operador habitual es idéntica a la topología en .[6]
- En particular, si es un espacio normado, entonces la topología normal habitual en el espacio dual continuo es idéntica a la topología de convergencia acotada en .
- Todo subconjunto equicontinuo de está acotado en .
Topologías polares
En todo momento, se asume que es un EVT.
Topologías 𝒢 frente a topologías polares
Si es un EVT cuyos subconjuntos acotados son exactamente iguales que sus subconjuntos débilmente acotados (por ejemplo, si es un espacio localmente convexo de Hausdorff), entonces una topología ) en (como se define en este artículo) es una topología polar y, a la inversa, cada topología polar es una topología . En consecuencia, en este caso los resultados mencionados en este artículo se pueden aplicar a topologías polares.
Sin embargo, si es un EVT cuyos subconjuntos acotados no son exactamente iguales a sus subconjuntos débilmente acotados, entonces la noción de "acotado en " es más fuerte que la noción de "-acotado en " (es decir, acotado en implica que es acotado en ) de modo que una topología en (como se define en este artículo), no es necesariamente una topología polar. Una diferencia importante es que las topologías polares siempre son localmente convexas, mientras que las topologías no tienen por qué serlo.
Las topologías polares tienen resultados más sólidos que las topologías más generales de convergencia uniforme descritas en este artículo, por lo que se remite a la lectura del artículo principal, topología polar. Aquí se enumeran algunas de las topologías polares más comunes.
Lista de topologías polares
Supóngase que es un EVT cuyos subconjuntos acotados son los mismos que sus subconjuntos débilmente acotados.
Notación: Si denota una topología polar en , entonces dotado con esta topología se denotará por o simplemente por (por ejemplo, para se tendría que , de modo que e denoten todos dotados con ).
> ("topología de convergencia uniforme sobre...") | Notación | Nombre ("topología de...") | Nombre alternativo |
---|---|---|---|
Subconjuntos finitos de | Convergencia puntual/simple | Topología débil/*débil | |
Discos -compactos | Topología de Mackey | ||
Subconjuntos convexos -compactos | Convergencia convexa compacta | ||
Subconjuntos -compactos (o subconjuntos equilibrados -compactos) | Convergencia compacta | ||
Subconjuntos -acotados | Convergencia acotada | Topología fuerte |
Topologías 𝒢-ℋ en espacios de aplicaciones bilineales
Se tiene que denota el espacio de aplicaciones bilineales continuas por separado y denota el espacio de aplicaciones bilineales continuas, donde y son espacios vectoriales topológicos sobre el mismo cuerpo (ya sean números reales o complejos). De manera análoga a cómo se aplica una topología en , se puede aplicar una topología en y .
Sea (respectivamente, ) una familia de subconjuntos de (respectivamente, ) que contienen al menos un conjunto no vacío. Sea la colección de todos los conjuntos donde Se puede aplicar en la topología y, en consecuencia, en cualquiera de sus subconjuntos, en particular en y en . Esta topología se conoce como topología o como topología de convergencia uniforme en los productos de .
Sin embargo, como antes, esta topología no es necesariamente compatible con la estructura del espacio vectorial de o de sin el requisito adicional de que para todas las aplicaciones bilineales, en este espacio (es decir, en o en ) y para todos los y el conjunto está acotado en Si tanto como constan de conjuntos acotados, entonces este requisito se cumple automáticamente si se aplica la topología , pero puede que este no sea el caso si se intenta aplicar la topología . La topología en será compatible con la estructura del espacio vectorial de si tanto como constan de conjuntos acotados y se cumple cualquiera de las siguientes condiciones:
- e son espacios barrilados y es localmente convexo.
- es un espacio F, es metrizable y es de Hausdorff, en cuyo caso
- y son los duales fuertes de los espacios reflexivos de Fréchet.
- está normado e y son los duales fuertes de los espacios reflexivos de Fréchet.
Topología ε
Supóngase que y son espacios localmente convexos y sean y las colecciones de subconjuntos equicontinuos de y , respectivamente. Entonces, la topología en será una topología de espacio vectorial topológico. Esta topología se llama topología ε y con esta topología se denota por o simplemente por
Parte de la importancia de este espacio vectorial y esta topología es que contiene muchos subespacios, como que se denota por Cuando a este subespacio se le da la topología de subespacio de , se denota por
En el caso de que sea el campo de estos espacios vectoriales, es un producto tensorial de e De hecho, si e son espacios de Hausdorff localmente convexos, entonces es un espacio vectorial isomorfo a que a su vez es igual a
Estos espacios tienen las siguientes propiedades:
- Si e son espacios de Hausdorff localmente convexos, entonces está completo si y solo si tanto como están completos.
- Si e están normados (respectivamente, ambos son de Banach), entonces también lo está .
Véase también
- Espacio bornológico
- Operador lineal acotado
- Sistema dual
- Topología dual
- Anexo:Topologías
- Modos de convergencia
- Norma de operador
- Tiopología polar
- Espacio dual fuerte
- Topologías de operadores
- Convergencia uniforme
- Espacio uniforme
- Topología débil
- Topología vaga
Notas
- ↑ Dado que es solo un conjunto que aún no se supone que esté dotado de ninguna estructura de espacio vectorial, aún no se debe suponer que consiste en aplicaciones lineales, que es una notación que todavía no se puede definir.
Referencias
- ↑ Nótese que cada conjunto es un entorno del origen para esta topología, pero no es necesariamente un entorno "abierto" del origen.
- ↑ a b c Schaefer y Wolff, 1999, pp. 79-88.
- ↑ En la práctica, generalmente consiste en una colección de conjuntos con ciertas propiedades y este nombre se cambia adecuadamente para reflejar este conjunto, de modo que si, por ejemplo, es la colección de subconjuntos compactos de (y es un espacio topológico), entonces esta topología se llama topología de convergencia uniforme en los subconjuntos compactos de
- ↑ a b c Narici y Beckenstein, 2011, pp. 19-45.
- ↑ a b c d e f g h Jarchow, 1981, pp. 43-55.
- ↑ a b c d e f g h i Narici y Beckenstein, 2011, pp. 371-423.
- ↑ a b Grothendieck, 1973, pp. 1-13.
- ↑ a b c d Schaefer y Wolff, 1999, p. 81.
- ↑ Trèves, 2006, Chapter 32.
- ↑ Schaefer y Wolff, 1999, p. 80.
- ↑ a b c d Schaefer y Wolff, 1999, p. 83.
- ↑ Schaefer y Wolff, 1999, p. 117.
- ↑ a b c Schaefer y Wolff, 1999, p. 82.
- ↑ Schaefer y Wolff, 1999, p. 87.
Bibliografía
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- Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.
- Khaleelulla, S. M. (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics 936. Berlin, Heidelberg, New York: Springer Science+Business Media. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370.
- Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
- Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM 8 (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
- Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
Datos: Q17104208