Topología usual

En Topología (rama de las matemáticas) se emplean muchas topologías (colección de abiertos). Una de las fundamentales y más empleadas es la topología usual.

Es un resultado conocido del Análisis Matemático que todas las normas sobre ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ son equivalentes, esto quiere decir que todas las métricas asociadas a normas de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ inducen a la misma topología (colección de abiertos), es decir, que todas las normas sobre ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ dan lugar a los mismos abiertos. El conjunto de estos abiertos es una topología y se le conoce como topología usual.^[1]​

Puntualizar que esto no es extensible a cualquier métrica, sino a las asociadas a las normas. Concretamente se tiene que la topología usual sobre ${\displaystyle \mathbb {R} }$ es la topología inducida por la distancia usual de forma que ${\displaystyle \tau _{d_{usual}}=\tau _{usual}}$.

Al ser las bolas abiertas para esta distancia los intervalos abiertos y acotados, entonces, se da que en el espacio topológico ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\tau _{usual})}$ los abiertos son las uniones arbitrarias de intervalos ${\displaystyle x,y}$ con ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$.^[2]​

Hay un resultado importante respecto a la topología usual. Al inducir la topología usual sobre un conjunto finito se obtiene la topología discreta. Esto es la topología inducida ${\displaystyle \tau _{Y}=\{Y\cap A:A\in \tau \}}$ con Y el conjunto de los números naturales ℕ.^[3]​

Las sucesiones convergentes en ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\tau _{usual})}$ convergen a un único punto.

La demostración se basa en que, al ser inducida la topología usual por la distancia usual, ${\displaystyle \tau _{d_{usual}}=\tau _{usual}}$, se tiene para todo par de puntos x,y de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$( ${\displaystyle x\neq y}$ ) existen dos abiertos ${\displaystyle x\in G_{x},y\in G_{y}}$ disjuntos (${\displaystyle G_{x}\cap G_{x}=\phi }$), luego ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\tau _{usual})}$ es un espacio Hausdorff. Y se sabe que en un espacio Hausdorff toda sucesión converge a un único punto. Fin de la demostración.

1. Como se ha comentado antes en ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\tau _{usual})}$ los abiertos son los intervalos y sus uniones.
2. En ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},n\geq 2}$ se puede considerar la topología usual como la inducida por ${\displaystyle d_{1},d_{2},...}$ y en general por cualquier otra distancia asociada a una norma.
3. Los abiertos son uniones de bolas abiertas.^[4]​

• Topología discreta
• Topología cofinita