Relación n-aria

En matemáticas y lógica, una relación n-aria R (o a menudo comúnmente relación) es una generalización de la relación binaria, donde R está formada por una tupla de n términos:

${\displaystyle R=\{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}):\;x_{1}\in X_{1}\;\land \;x_{2}\in X_{2}\;\land \;\ldots \;\land \;x_{n}\in X_{n}\;\land \;R(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\rm {{verdadero}\}}}}$

Un predicado n-ario: ${\displaystyle R(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\rm {verdadero}}}$ es una función a valores de verdad de n variables.

Debido a que una relación como la anterior define de manera única un predicado n-ario que vale para ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ si y sólo si ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ está en ${\displaystyle R\,}$, y viceversa, la relación y el predicado se denotan a menudo con el mismo símbolo. Así pues, por ejemplo, las dos proposiciones siguientes se consideran como equivalentes:

• ${\displaystyle R(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$
• ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in R}$

La siguiente relación, definida sobre el conjunto N de los números naturales, es n-aria, pues posee n términos:

${\displaystyle C=\{(a_{1},a_{2},\ldots ,\;a_{n}):\;(a_{1},a_{2},\ldots ,\;a_{n})\in \mathbb {N} ^{n}\;\land \;(a_{1}<a_{2}<\ldots \;<a_{n})\}}$

La relación dice que cada uno de los términos es mayor que el anterior. El valor de n es un parámetro fijo, que se puede explicitar, o bien dejar como genérico, para describir un caso general.

Las relaciones se clasifican según el número de conjuntos en el producto cartesiano; en otras palabras, el número de términos en la expresión:

• Relación unaria: R(x).
• Relación binaria: R(x, y).
• Relación ternaria: R(x, y, z).
• Relación cuaternaria: R(x, y, z, t).

Las relaciones con más de 4 términos generalmente se llaman n-arias; por ejemplo "una relación 5-aria".

• Relación matemática
• Correspondencia matemática

• Bourbaki, N. (1994) Elements of the History of Mathematics, John Meldrum, trans. Springer-Verlag.
• Halmos, P.R. (1960) Naive Set Theory. Princeton NJ: D. Van Nostrand Company.
• Lawvere, F. W., and R. Rosebrugh (2003) Sets for Mathematics, Cambridge Univ. Press.
• Suppes, Patrick (1960/1972) Axiomatic Set Theory. Dover Publications.
• Tarski, A. (1956/1983) Logic, Semantics, Metamathematics, Papers from 1923 to 1938, J.H. Woodger, trans. 1st edition, Oxford University Press. 2nd edition, J. Corcoran, ed. Indianapolis IN: Hackett Publishing.
• Ulam, S.M. (1990) Analogies Between Analogies: The Mathematical Reports of S.M. Ulam and His Los Alamos Collaborators in A.R. Bednarek and Françoise Ulam, eds., University of California Press.