Red de Toda

La red de Toda, introducida por Morikazu Toda en 1967, es un modelo sencillo para un cristal unidimensional en física del estado sólido. Consiste en una cadena de partículas cuya interacción a primeros vecinos viene dada por las ecuaciones del movimiento

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}p(n,t)&=e^{-(q(n,t)-q(n-1,t))}-e^{-(q(n+1,t)-q(n,t))},\\{\frac {d}{dt}}q(n,t)&=p(n,t),\end{aligned}}}$

donde ${\displaystyle q(n,t)}$es el desplazamiento de la partícula ${\displaystyle n}$-ésima de su posición de equilibrio, y ${\displaystyle p(n,t)}$es su momento (masa ${\displaystyle m=1}$).

La red de Toda es un ejemplo prototípico de sistema completamente integrable con soluciones de solitones. Para ver esto se pueden utilizar las variables de Flaschka,

${\displaystyle a(n,t)={\frac {1}{2}}{\rm {e}}^{-(q(n+1,t)-q(n,t))/2},\qquad b(n,t)=-{\frac {1}{2}}p(n,t)}$

de forma que las ecuaciones de Toda resultan

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {a}}(n,t)&=a(n,t){\Big (}b(n+1,t)-b(n,t){\Big )},\\{\dot {b}}(n,t)&=2{\Big (}a(n,t)^{2}-a(n-1,t)^{2}{\Big )}.\end{aligned}}}$

Se puede comprobar que la red de Toda es equivalente a la ecuación de Lax

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}L(t)=[P(t),L(t)]}$

donde [L, P] = LP - PL es el conmutador de dos operadores. Los operadores L y P, el par de Lax del sistema, son operadores lineales en el espacio de Hilbert de sucesiones de cuadrados sumables ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L(t)f(n)&=a(n,t)f(n+1)+a(n-1,t)f(n-1)+b(n,t)f(n),\\P(t)f(n)&=a(n,t)f(n+1)-a(n-1,t)f(n-1).\end{aligned}}}$

La matriz ${\displaystyle L(t)}$tiene la propiedad de que sus valores propios son invariantes temporales. Estos valores propios constituyen integrales del movimiento independientes, por tanto la red de Toda es completamente integrable. En particular, la red de Toda se puede resolver a través de la transformada de dispersión inversa para el operador de Jacobi L. El principal resultado implica que para condiciones iniciales arbitrarias que decaen lo suficientemente rápido, estas se separan asintóticamente para t grandes en una suma de solitones y una parte dispersiva que decae.

• Par de Lax
  
• Biálgebra de Lie
• Grupo de Poisson-Lie

• Krüger, Helge; Teschl, Gerald (2009), «Long-time asymptotics of the Toda lattice for decaying initial data revisited», Rev. Math. Phys. 21 (1): 61-109, Bibcode:2009RvMaP..21...61K, doi:10.1142/S0129055X0900358X .
• Teschl, Gerald (2000), Jacobi Operators and Completely Integrable Nonlinear Lattices, Providence: Amer. Math. Soc., ISBN 0-8218-1940-2 .
• Teschl, Gerald (2001), «Almost everything you always wanted to know about the Toda equation», Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 103 (4): 149-162 .
• Integrable Hamiltonians with Exponential Potential, Eugene Gutkin, Physica 16D (1985) 398-404.
• Toda, Morikazu (1967), «Vibration of a chain with a non-linear interaction», J. Phys. Soc. Japan 22: 431-436, Bibcode:1967JPSJ...22..431T, doi:10.1143/JPSJ.22.431 .
• Toda, Morikazu (1989), Theory of Nonlinear Lattices (2 edición), Berlín: Springer, ISBN 978-0-387-10224-5, doi:10.1007/978-3-642-83219-2 .

• E. W. Weisstein, Toda Lattice en ScienceWorld
• G. Teschl, The Toda Lattice