Productorio

El productorio o productoria, también conocido como multiplicatorio, multiplicatoria, producto o infrecuentemente pitatoria o pitatorio (por denotarse como una letra pi mayúscula), es una notación matemática que representa una multiplicación de una cantidad arbitraria (finita o infinita).

La notación se expresa con la letra griega pi mayúscula Π de la siguiente manera:

Para todos los valores m < n

${\displaystyle \prod _{k=m}^{n}a_{k}=a_{m}\cdot a_{m+1}\cdot \quad \dots \quad \cdot a_{n}}$

Si m = n tenemos que:

${\displaystyle m=n\;,\quad \prod _{k=m}^{n}a_{k}=\prod _{k=m}^{m}a_{k}=a_{m}}$

En el caso de que m sea mayor que n, m > n, se le asigna el valor del elemento neutro de la multiplicación, el uno:

${\displaystyle m>n\;,\quad \prod _{k=m}^{n}a_{k}=1}$

Se puede definir por inducción como sigue.

1. Se define

${\displaystyle \prod _{k=1}^{1}a_{k}=a_{1}}$

2. Supuesta definida para un n ≥ 1 fijo, se define

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}a_{k}=\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)a_{n+1}}$

Se puede usar el productorio para definir otras igualdades importantes. Así, tomando n=1 y aplicando la segunda igualdad se obtiene:

${\displaystyle \prod _{k=1}^{2}a_{k}=\left(\prod _{k=1}^{1}a_{k}\right)(a_{2})=a_{1}a_{2}}$.

Definida para n=2, se puede aplicar otra vez la segunda igualdad con n=2 para luego obtener

${\displaystyle \prod _{k=1}^{3}a_{k}=\left(\prod _{k=1}^{2}a_{k}\right)(a_{3})=(a_{1}a_{2})a_{3}}$.

Así, usando la propiedad asociativa de la multiplicación, el producto ${\displaystyle {\mathit {(a_{1}a_{2})a_{3}}}\,\!}$ es el mismo que ${\displaystyle {\mathit {a_{1}(a_{2}a_{3})}}\,\!}$ y, por lo tanto, podemos prescindir del uso de paréntesis sin peligro de confusión y usar simplemente

${\displaystyle a_{1}\,a_{2}\,a_{3}=\prod _{k=1}^{3}a_{k}}$.

Se puede entonces, usar este razonamiento para cualquier ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ sin que haya peligro de confusión.

Otro ejemplo de productorio muy conocido es el que se utiliza para definir n! (n factorial) como sigue:

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}k=n!}$

Se define ${\displaystyle 0!=1!=1}$

Se puede usar el método de inducción matemática para demostrar algunas propiedades. Para ello, nos basaremos en la definición formal por inducción descrita anteriormente.

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}{({a_{k}}{b_{k}})}=\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left(\prod _{k=1}^{n}b_{k}\right)}$

Demostración por Inducción i) Tomemos n=1 y veamos si se cumple la igualdad

${\displaystyle \prod _{k=1}^{1}{({a_{k}}{b_{k}})}=a_{1}b_{1}=\left(\prod _{k=1}^{1}a_{k}\right)\left(\prod _{k=1}^{1}b_{k}\right)}$

y la igualdad es cierta para n=1

ii) Supongámosla cierta para n y analicémosla para n+1

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{({a_{k}}{b_{k}})}=\left[\prod _{k=1}^{n}{({a_{k}}{b_{k}})}\right](a_{n+1}b_{n+1})}$

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{({a_{k}}{b_{k}})}=\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left(\prod _{k=1}^{n}b_{k}\right)a_{n+1}b_{n+1}}$

(Definición por inducción)

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{({a_{k}}{b_{k}})}=\left[\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)(a_{n+1})\right]\left[\left(\prod _{k=1}^{n}b_{k}\right)(b_{n+1})\right]}$

(Asociatividad en IR) Luego,

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{({a_{k}}{b_{k}})}=\left(\prod _{k=1}^{n+1}a_{k}\right)\left(\prod _{k=1}^{n+1}b_{k}\right)}$

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}={\frac {a_{n}}{a_{0}}},\quad {\text{si cada}}\;a_{k}\neq 0}$

Demostración por Inducción

i) Analicemos para n=1

${\displaystyle \prod _{k=1}^{1}{\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}={\frac {a_{1}}{a_{0}}},\quad {\text{con:}}\;a_{0}\neq 0\;{\text{y la igualdad es cierta para:}}\;n=1}$

ii) Supongámosla cierta para n y analicémosla para n+1

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}=\left(\prod _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}\right)\left({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right)}$ (Definición por inducción)

Luego,

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}={\frac {a_{n}}{a_{0}}}\;{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}}$

que es lo que queríamos demostrar.

Nótese que nuestra exigencia era que para cada ${\displaystyle {\mathit {k}}\,\!}$, ${\displaystyle a_{k}\neq 0}$. En particular, para ${\displaystyle {\mathit {k=n}}\,\!}$, ${\displaystyle a_{k}=a_{n}\neq 0}$. Luego la simplificación es posible y

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}={\frac {a_{n+1}}{a_{0}}}}$.

• Sumatorio
• Factorial
• Suma
• Multiplicación
• Coproducto (teoría de categorías)
• Número π

• Weisstein, Eric W. «Product». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.