Normalizador

Si G es un grupo y S un subconjunto de G, el normalizador de S está definido por

${\displaystyle N(S)=\{g\in G:gSg^{-1}=S\}}$

Si G es un grupo y S un subconjunto de G, entonces el normalizador N(S) es un subgrupo de G.

${\displaystyle ab^{-1}}$

${\displaystyle a,b}$

${\displaystyle N(S)}$

${\displaystyle N(S)}$

${\displaystyle s\in S}$

${\displaystyle (ab^{-1})s(ab^{-1})^{-1}}$

Primero demostramos que si ${\displaystyle b\in N(S)}$ entonces ${\displaystyle b^{-1}\in N(S)}$ ya que para cualquier ${\displaystyle s\in S}$ existe un ${\displaystyle s_{1}\in S}$ que satisfaga ${\displaystyle bsb^{-1}=s_{1}}$, pero entonces ${\displaystyle s=(b^{-1})s_{1}(b)\in S}$, es decir, ${\displaystyle b^{-1}\in N(S)}$

Procedemos ahora a la prueba principal. Desarrollando

${\displaystyle (ab^{-1})s(ab^{-1})^{-1}=ab^{-1}s(b^{-1})^{-1}a^{-1}=ab^{-1}sba^{-1}=a(b^{-1}sb)a^{-1}}$

observamos que a está conjugando al elemento ${\displaystyle b^{-1}sb}$, el cual a su vez es la conjugación por ${\displaystyle b^{-1}}$ de s.

Pero como ${\displaystyle b\in N(S)}$, entonces ${\displaystyle b^{-1}\in N(S)}$ y por tanto ${\displaystyle b^{-1}sb\in S}$. Denotemos por ${\displaystyle s_{2}}$ a ${\displaystyle b^{-1}sb}$ y entonces la expresión original se reescribe como ${\displaystyle as_{2}a^{-1}}$ que, al estar a en ${\displaystyle N(S)}$, también pertenece a S.

Concluimos entonces que ${\displaystyle (ab^{-1})s(ab^{-1})^{-1}\in S}$ y por tanto ${\displaystyle N(S)}$ es un subgrupo.

Si H es un subgrupo de G, entonces H es un subgrupo normal de N(H). Además, N(H) es el mayor subgrupo con esta propiedad.

Si H es un subgrupo de G entonces el número de clases conjugadas de H en G es igual al índice del normalizador en el grupo: ${\displaystyle [G:N(H)]}$ y por tanto divide al orden del grupo cuando éste es finito.

Además, dos clases de conjugación coinciden, ${\displaystyle aHa^{-1}=bHb^{-1}}$, si y sólo si ${\displaystyle ab^{-1}\in N(H)}$