Matriz de Gram

En álgebra lineal, la matriz de Gram de un conjunto de vectores ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$ en un espacio prehilbertiano, es la matriz que define el producto escalar, cuyas entradas vienen dadas por ${\displaystyle G_{ij}=\langle v_{i},v_{j}\rangle }$. Debe su nombre al matemático danés Jørgen Pedersen Gram.

Una matriz de Gram, G, es una matriz cuadrada que cumple las siguientes propiedades:

• Es hermítica o hermitiana, según lo que postula Charles Hermite

${\displaystyle g_{ij}=g_{ji}^{*}}$

En caso de que los vectores sean reales, la matriz de Gram es simétrica.

${\displaystyle g_{ij}=g_{ji}}$

• Es una matriz semidefinida positiva, y todas las matrices semidefinidas positivas son la matriz de Gram de algún conjunto de vectores. Dicho conjunto de vectores generalmente no es único: la matriz de Gram de cualquier base ortonormal es una matriz identidad. La analogía de dimensión infinita de este teorema es el Teorema de Mercer.
• Los determinantes de los menores principales son todos positivos. Es decir:

${\displaystyle |G_{i}|>0\quad i=1,\dots ,n;{\text{ siendo }}G_{i}={\begin{pmatrix}g_{11}&\cdots &g_{1i}\\\vdots &\ddots &\vdots \\g_{i1}&\cdots &g_{ii}\\\end{pmatrix}}}$

Una de las aplicaciones más importantes de dicha matriz es la comprobación de la independencia lineal: un conjunto de vectores será linealmente independiente si y sólo si el determinante de Gram no es nulo.

El determinante de Gram o gramiano ${\displaystyle \scriptstyle G(x_{1},\dots ,x_{n})}$ de n-vectores es el determinante de la matriz formada por los n² productos escalares formados con esos vectores:

${\displaystyle G(x_{1},\dots ,x_{n})={\begin{vmatrix}\langle x_{1},x_{1}\rangle &\langle x_{1},x_{2}\rangle &\dots &\langle x_{1},x_{n}\rangle \\\langle x_{2},x_{1}\rangle &\langle x_{2},x_{2}\rangle &\dots &\langle x_{2},x_{n}\rangle \\\vdots &\vdots &&\vdots \\\langle x_{n},x_{1}\rangle &\langle x_{n},x_{2}\rangle &\dots &\langle x_{n},x_{n}\rangle \end{vmatrix}}}$

Numéricamente, el determinante de Gram coincide con el volumen al cuadrado del paralelepípedo formado por los vectores. En particular, los vectores son linealmente independientes si y sólo si el determinante de Gram no es nulo (es decir, si la matriz de Gram es invertible).

Normalmente, los vectores son elementos de un espacio euclídeo, o funciones de un espacio ${\displaystyle L^{2}}$, tales como funciones continuas en un intervalo cerrado ${\displaystyle [a,b]}$ (que es un subespacio de ${\displaystyle L^{2}([a,b])}$).

Dada una función de variable real ${\displaystyle \{l_{i}(\cdot ),\,i=1,\dots ,n\}}$ definida en el intervalo ${\displaystyle [t_{0},t_{f}]}$, la matriz de Gram ${\displaystyle G=[G_{ij}]}$, se define como el producto escalar estándar de funciones: ${\displaystyle G_{ij}=\int _{t_{0}}^{t_{f}}l_{i}(\tau )l_{j}(\tau )\,d\tau }$.

Dada una matriz A, la matriz ${\displaystyle A^{\mathrm {T} }A}$ es la matriz de Gram de las columnas de A, mientras que la matriz ${\displaystyle AA^{\mathrm {T} }}$ es la matriz de Gram de las filas de A.

Para una forma bilineal B definida en un espacio vectorial de dimensión finita, se define la matriz de Gram G asociada a un conjunto de vectores ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$, como ${\displaystyle G_{i,j}=B(v_{i},v_{j})\,}$. Dicha matriz sería simétrica si la forma bilineal B lo fuera.

• Barth, Nils (1999). «The Gramian and K-Volume in N-Space: Some Classical Results in Linear Algebra». Journal of Young Investigators 2. Archivado desde el original el 22 de noviembre de 2008.