Matriz de Gram
En álgebra lineal, la matriz de Gram de un conjunto de vectores en un espacio prehilbertiano, es la matriz que define el producto escalar, cuyas entradas vienen dadas por . Debe su nombre al matemático danés Jørgen Pedersen Gram.
Propiedades
Una matriz de Gram, G, es una matriz cuadrada que cumple las siguientes propiedades:
- Es hermítica o hermitiana, según lo que postula Charles Hermite
En caso de que los vectores sean reales, la matriz de Gram es simétrica.
- Es una matriz semidefinida positiva, y todas las matrices semidefinidas positivas son la matriz de Gram de algún conjunto de vectores. Dicho conjunto de vectores generalmente no es único: la matriz de Gram de cualquier base ortonormal es una matriz identidad. La analogía de dimensión infinita de este teorema es el Teorema de Mercer.
- Los determinantes de los menores principales son todos positivos. Es decir:
Aplicaciones
Una de las aplicaciones más importantes de dicha matriz es la comprobación de la independencia lineal: un conjunto de vectores será linealmente independiente si y sólo si el determinante de Gram no es nulo.
Determinante de Gram
El determinante de Gram o gramiano de n-vectores es el determinante de la matriz formada por los n2 productos escalares formados con esos vectores:
Numéricamente, el determinante de Gram coincide con el volumen al cuadrado del paralelepípedo formado por los vectores. En particular, los vectores son linealmente independientes si y sólo si el determinante de Gram no es nulo (es decir, si la matriz de Gram es invertible).
Ejemplos
Normalmente, los vectores son elementos de un espacio euclídeo, o funciones de un espacio , tales como funciones continuas en un intervalo cerrado (que es un subespacio de ).
Dada una función de variable real definida en el intervalo , la matriz de Gram , se define como el producto escalar estándar de funciones: .
Dada una matriz A, la matriz es la matriz de Gram de las columnas de A, mientras que la matriz es la matriz de Gram de las filas de A.
Para una forma bilineal B definida en un espacio vectorial de dimensión finita, se define la matriz de Gram G asociada a un conjunto de vectores , como . Dicha matriz sería simétrica si la forma bilineal B lo fuera.
Enlaces externos
- Barth, Nils (1999). «The Gramian and K-Volume in N-Space: Some Classical Results in Linear Algebra». Journal of Young Investigators 2. Archivado desde el original el 22 de noviembre de 2008.
Datos: Q1409400