Matriz compañera
En álgebra lineal, la matriz compañera del polinomio mónico
es la matriz cuadrada definida como
Esta matriz junto con una base (v1, ... , vn), transforma el polinomio p(t) en un sistema de ecuaciones lineales simultáneas de la forma:
Con este convenio, y sobre la base (v1, ... , vn), uno tiene
(Para i < n), y v1 generar V como K[C]-module: C ciclos de vectores de la base.
Algunos autores utilizan la transposición de esta matriz, que es más conveniente para algunos propósitos, como las relaciones de recurrencia lineales.
Caracterización
El polinomio característico así como el polinomio mínimo de C(p) son iguales a p.[1]
En este sentido, la matriz C(p) es la "compañera" del polinomio p.
Si A es una matriz de n por n con entradas en algún cuerpo K, entonces son equivalentes las siguientes afirmaciones:
- A es similar a la matriz compañera sobre K de su polinomio característico.
- El polinomio característico de A coincide con el polinomio mínimo de A, equivalentemente, el polinomio mínimo tiene grado n.
- Existe un vector cíclico v en para A, lo que significa que {v, Av, A2v,..., An−1v} es una base de V. De manera equivalente, si V es cíclico como una -module (y ); se dice que A es regular.
No toda matriz cuadrada es similar a una matriz compañera. Pero toda matriz es similar a una matriz formada por bloques de matrices de compañía. Además, estas matrices de compañía pueden ser elegidas de modo que sus polinomios se dividan entre sí; entonces, se determinan de forma única por A. Esta es la forma canónica relacional de A.
Diagonalización
Si p(t) tiene raíces distintas λ1, ..., λn (los valores propios de C(p)), entonces C(p) es diagonalizable como sigue:
donde V es la matriz de Vandermonde correspondiente a los Y's.
En este caso,[2] trazas de las potencias m de C producen fácilmente sumas de las mismas potencias m de todas las raíces de p(t),
En general, la matriz compañero puede ser no diagonalizable.
Secuencias lineales recursivas
Dada una secuencia lineal recursiva con polinomio característico
la matriz compañera
genera la secuencia, en el sentido de que
incrementa la serie en 1.
El vector (1,t,t2, ..., tn-1) es un vector propio de esta matriz de valor propio t, cuando t es una raíz del polinomio característico p(t).
Para c0 = −1, y para todo ci=0, i.e., p(t) = tn−1, esta matriz se reduce a la matriz de desplazamiento cíclico de Sylvester, o matriz circulante.
Véase también
- Endomorfismo de Frobenius
- Teorema de Cayley-Hamilton
Notas
Datos: Q814361