En matemáticas y física teórica, un grupo cuántico localmente compacto[1] es un enfoque C*-algebraico relativamente nuevo hacia el grupo cuántico, que generaliza los enfoques del álgebra de Kac, del grupo cuántico compacto y del álgebra de Hopf. Los intentos anteriores de lograr una definición unificadora de grupos cuánticos utilizando, por ejemplo, unitarios multiplicativos, han tenido cierto éxito, pero también han encontrado varios problemas técnicos.
Una de las principales características que distingue a este nuevo enfoque de sus predecesores es la existencia axiomática de pesos invariantes a izquierda y derecha. Esto proporciona un análogo no conmutativo de la medida de Haar a izquierda y derecha en un grupo de Hausdorff localmente compacto.
Definiciones
Antes de que siquiera se pueda comenzar a definir adecuadamente un grupo cuántico localmente compacto, primero se debe definir una serie de conceptos preliminares y también enunciar algunos teoremas.
Definición (peso). Sea
un C*-álgebra y
denota el conjunto de elementos positivos de
. Un peso en
es una función
tal que
para todos los
, y
para todos los
y
.
Algunas notaciones para pesos. Sea
un peso en un C* álgebra
. Se usa la siguiente notación:
, que se denomina conjunto de todos los elementos positivos integrables en
de
.
, que se denomina conjunto de todos los elementos integrables al cuadrado
de
.
, que se denomina conjunto de todos los elementos
-integrables de
.
Tipos de pesos. Sea
un peso en una C*-álgebra
.
- Se dice que
es fiel si y solo si
para cada
distinto de cero. - Se dice que
es semicontinuo inferior si y solo si el conjunto
es un subconjunto cerrado de
para cada
. - Se dice que
está densamente definido si y solo si
es un subconjunto denso de
, o de manera equivalente, si y solo si
o
es un subconjunto denso de
. - Se dice que
es propio si y solo si es distinto de cero, semicontinuo inferior y densamente definido.
Definición (grupo de un parámetro). Sea
una C* álgebra. Un grupo de un parámetro en
es una familia
de *automorfismos de
que satisface
para todos los
. Se dice que
es una norma-continua si y solo si para cada
, la aplicación
definida por
es continua.[2]
Definición (extensión analítica de un grupo de un parámetro). Dado un grupo de un parámetro continuo de norma
en una C* álgebra
, se define una Extensión analítica de
. Para cada
, sea
,
que es una franja horizontal en el plano complejo. Se denomina a una función
norma-regular si y solo si se cumplen las siguientes condiciones:
- Es analítica en el interior de
, es decir, para cada
en el interior de
, el límite
existe con respecto a la topología norma en
. - Está acotado por normas en
. - Es norma continua en
.
Supóngase ahora que
, y considérese que
![{\displaystyle D_{z}:=\{a\in A\mid {\text{There exists a norm-regular}}~f:I(z)\to A~{\text{such that}}~f(t)={\alpha _{t}}(a)~{\text{for all}}~t\in \mathbb {R} \}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6663342d882cf061a01eeadf4e5751d33a0603b7)
Entonces, se define
por
. La función
está determinada de forma única (por la teoría de funciones analíticas complejas), por lo que
está bien definida. La familia
se denomina entonces extensión analítica de
.
Teorema 1. El conjunto
, llamado conjunto de elementos analíticos de
, es un subconjunto denso de
.
Definición (peso K.M.S.). Sea
una C* álgebra y
un peso en
. Se dice que
es un peso K.M.S. ('K.M.S.' significa 'Kubo-Martin-Schwinger') en
si y solo si
es un peso propio en
y existe un grupo normado continuo de un parámetro
en
tal que
es invariante bajo
, es decir,
para todos los
, y - por cada
, se tiene que
.
Denótese por
el álgebra multiplicadora de
.
Teorema 2. Si
y
son C* álgebras y
es un homomorfismo* no degenerado (es decir,
es un subconjunto denso de
), entonces se puede extender
de forma única a un *homomorfismo
.
Teorema 3. Si
es un estado (es decir, un funcional lineal positivo de norma
) en
, entonces se puede extender
de forma única a un estado
en
.
Definición (grupo cuántico localmente compacto). Un (C*-algebraico) grupo cuántico localmente compacto es un par ordenado
, donde
es una C* álgebra y
es un *homomorfismo no degenerado, llamado co-multiplicación, que satisface las siguientes cuatro condiciones:
- La comultiplicación es coasociativa, es decir,
. - Los conjuntos
y
son subconjuntos linealmente densos de
. - Existe un peso K.M.S. fiel
en
que es invariante a la izquierda, es decir,
para todos los
y
. - Existe un peso K.M.S.
en
que es invariante a la derecha, es decir,
para todos los
y
.
A partir de la definición de un grupo cuántico localmente compacto, se puede demostrar que el peso K.M.S.
es automáticamente fiel. Por lo tanto, la fidelidad de
es una condición redundante y no necesita ser postulada.
Dualidad
La categoría de grupos cuánticos localmente compactos permite una construcción dual con la que se puede demostrar que el bi-dual de un grupo cuántico localmente compacto es isomorfo al original. Este resultado proporciona una generalización de gran alcance de la dualidad de Pontriaguin para grupos abelianos de Hausdorff localmente compactos.
Formulaciones alternativas
La teoría tiene una formulación equivalente en términos del álgebra de von Neumann.
Véase también
- Compacidad local
- Cuerpo localmente compacto
- Grupo localmente compacto
Referencias
- ↑ Locally Compact Quantum Groups and Groupoids: Proceedings of the Meeting of Theoretical Physicists and Mathematicians, Strasbourg, February 21-23, 2002. Walter de Gruyter. 2008. pp. 230 de 247. ISBN 9783110200058. Consultado el 14 de febrero de 2024.
- ↑ Seguramente, debería llamarse fuertemente continua.
Bibliografía
- Johan Kustermans & Stefaan Vaes. "Locally Compact Quantum Groups." Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure. Vol. 33, No. 6 (2000), pp. 837–934.
- Thomas Timmermann. "An Invitation to Quantum Groups and Duality – From Hopf Algebras to Multiplicative Unitaries and Beyond." EMS Textbooks in Mathematics, European Mathematical Society (2008).
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