Función q-gamma

En matemática, la función q-gamma, o función gamma básica, es una generalización de la función gamma ordinaria, y está muy estrechamente relacionada con la función gamma doble. Ésta fue introducida por Jackson (1905).

Se define de la siguiente manera:

${\displaystyle \Gamma _{q}(x):=(1-q)^{1-x}\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-q^{n+1}}{1-q^{x+n}}}.}$

La función q-gamma es un q-análogo de la función gamma, y por tanto, se puede expresar en términos de símbolos q-Pochhammer:

${\displaystyle \Gamma _{q}(x)={\frac {(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}}\,(1-q)^{1-x}}$

Además, satisface la siguiente ecuación funcional:

${\displaystyle \Gamma _{q}(z+1)={\frac {(1-q^{z})}{(1-q)}}\,\Gamma _{q}(z)}$

y es equivalente a la función gamma ordinaria cuando ${\displaystyle \scriptstyle q\to 1^{-}}$ ya que

${\displaystyle \lim _{q\to 1^{-}}\Gamma _{q}(z)=\Gamma (z)}$

• Jackson, F. H. (1905), «The Basic Gamma-Function and the Elliptic Functions», Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character (The Royal Society) 76 (508): 127-144, ISSN 0950-1207 .
• Gasper, George; Rahman, Mizan (2004), Basic hypergeometric series, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 96 (2nd edición), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83357-8, MR 2128719 .
• Weisstein, Eric W. «q-Gamma Function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.