Espacio localmente conexo

En matemáticas, más precisamente en topología, un espacio topológico X se dice localmente conexo si para todo ${\displaystyle x\in X}$ y todo U entorno de x, existe ${\displaystyle V\subseteq U}$ entorno abierto de x conexo.

Similarmente, X se dice localmente arco-conexo si para todo ${\displaystyle x\in X}$ y todo U entorno de x, existe ${\displaystyle V\subseteq U}$ entorno abierto de x arcoconexo.

Dado un espacio topológico X, y un punto ${\displaystyle x\in X}$, si para todo entorno U de x existe un entorno ${\displaystyle V\subseteq U}$ de x (arco)conexo (sin pedir que V sea abierto), decimos que X es débilmente localmente (arco)conexo en x.

Algunos ejemplos

1. El subespacio ${\displaystyle [0,1]\cup [2,3]}$ de la recta real ${\displaystyle R}$ es localmente arcoconexo, pero no conexo.

2. El peine del topólogo es conexo pero no arco conexo.

3. El subespacio ${\displaystyle Q}$ de números racionales con la topología de subespacio de ${\displaystyle R}$ no es conexo ni localmente conexo.