Espacio de Besov

En matemáticas, el espacio de Besov (llamado así en honor a Oleg Vladimirovich Besov) ${\displaystyle B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )}$ es un espacio cuasinormado completo que es un espacio de Banach cuando 1 ≤ p, q ≤ ∞. Estos espacios, así como los espacios de Triebel-Lizorkin definidos de manera similar, sirven para generalizar espacios funcionales más elementales, como los espacios de Sobolev, y son eficaces para medir las propiedades de regularidad de las funciones.

Existen varias definiciones equivalentes. Uno de ellos se da a continuación.

Sea

${\displaystyle \Delta _{h}f(x)=f(x-h)-f(x)}$

y definir el módulo de continuidad por

${\displaystyle \omega _{p}^{2}(f,t)=\sup _{|h|\leq t}\left\|\Delta _{h}^{2}f\right\|_{p}}$

Sea n un número entero no negativo y defina: s = n + α con 0 < α ≤ 1. El espacio de Besov ${\displaystyle B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )}$ contiene todas las funciones f tales que

${\displaystyle f\in W^{n,p}(\mathbf {R} ),\qquad \int _{0}^{\infty }\left|{\frac {\omega _{p}^{2}\left(f^{(n)},t\right)}{t^{\alpha }}}\right|^{q}{\frac {dt}{t}}<\infty .}$

El espacio de Besov ${\displaystyle B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )}$ está equipado con la norma

${\displaystyle \left\|f\right\|_{B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )}=\left(\|f\|_{W^{n,p}(\mathbf {R} )}^{q}+\int _{0}^{\infty }\left|{\frac {\omega _{p}^{2}\left(f^{(n)},t\right)}{t^{\alpha }}}\right|^{q}{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}}$

Los espacios de Besov ${\displaystyle B_{2,2}^{s}(\mathbf {R} )}$ coincidir con los espacios de Sobolev más clásicos ${\displaystyle H^{s}(\mathbf {R} )}$.

Si ${\displaystyle p=q}$ y ${\displaystyle s}$ no es un número entero, entonces ${\displaystyle B_{p,p}^{s}(\mathbf {R} )={\bar {W}}^{s,p}(\mathbf {R} )}$, dónde ${\displaystyle {\bar {W}}^{s,p}(\mathbf {R} )}$ denota el espacio de Sobolev-Slobodeckij.

• Triebel, Hans (1992). Theory of Function Spaces II. ISBN 978-3-0346-0418-5. doi:10.1007/978-3-0346-0419-2. 
• Besov, O. V. (1959). «On some families of functional spaces. Imbedding and extension theorems.». Dokl. Akad. Nauk SSSR (en ruso) 126: 1163-1165. 
• DeVore, R. and Lorentz, G. "Constructive Approximation", 1993.
• DeVore, R., Kyriazis, G. and Wang, P. "Multiscale characterizations of Besov spaces on bounded domains", Journal of Approximation Theory 93, 273-292 (1998).
• Leoni, Giovanni (2017). A First Course in Sobolev Spaces: Second Edition. Graduate Studies in Mathematics. 181. American Mathematical Society. pp. 734. ISBN 978-1-4704-2921-8