Un conjunto A de números reales (representados por círculos azules), un conjunto de cotas superiores de A (círculos rojos), y el mínimo de las cotas superiores, el supremo de A (diamante rojo).
En matemáticas, dado un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado , el supremo de , si existe, es el mínimo elemento de que es mayor o igual a cada elemento de . En otras palabras, es la mínima de las cotas superiores de . El supremo de un conjunto comúnmente se denota como .
De forma análoga, se define el ínfimo, si existe, como la mayor de las cotas inferiores de , y se suele denotar por .
Definiciones
Sea un subconjunto no vacío de .
Si está acotado por arriba , entonces se dice que una cota superior es un supremo - o una mínima cota superior- de si es menor que cualquier cota superior de . En tal caso, a esa cota superior se le denota .
Si está acotado por abajo, entonces se dice que una cota inferior es un ínfimo - o una máxima cota inferior- de si es mayor que cualquier cota inferior de . En tal caso, a esa cota inferior se le denota [1]
Propiedades
En el campo de los números reales, todo subconjunto no vacío, acotado superiormente posee un supremo, contenido o no dentro del subconjunto.
es supremo del subconjunto no vacío del conjunto de números reales si es cota superior de y si, y solo si para toda existe en tal que .
es ínfimo del subconjunto no vacío del conjunto de números reales si es cota inferior de y si, y solo si para toda existe en tal que .
Sean un subconjunto acotado de números reales y un subconjunto no vacío de . Se cumple que .[2]
Si el supremo (ínfimo) existe, entonces es único
, si es que dichos supremos existen
, si es que dichos ínfimos existen
Un conjunto tiene máximo (mínimo) si y solamente si el supremo (ínfimo) es un elemento de dicho conjunto.