Ecuación de estado de Birch-Murnaghan

La ecuación de estado isotérmica de Birch-Murnaghan, publicada en 1947 por Albert Francis Birch de la Universidad de Harvard,^[1]​ es una relación entre el volumen de un cuerpo y la presión a la que está sometido. Birch propuso esta ecuación basándose en el trabajo de Francis Dominic Murnaghan de la Universidad Johns Hopkins publicado en 1944,^[2]​ por lo que la ecuación se nombra en honor a ambos científicos. La ecuación generaliza y aumenta el rago de aplicabilidad de la ecuación de estado de Murnaghan.

La ecuación de estado isotérmica de Birch-Murnaghan de tercer orden está dada por

${\displaystyle P(V)={\frac {3B_{0}}{2}}\left[\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{\frac {7}{3}}-\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{\frac {5}{3}}\right]\left\{1+{\frac {3}{4}}\left(B_{0}^{\prime }-1\right)\left[\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{\frac {2}{3}}-1\right]\right\}.}$

donde P es la presión, V₀ es el volumen de referencia, V es el volumen deformado, B₀ es el módulo de volumen y B'₀ es la derivada del módulo de volumen con respecto a la presión. El módulo volumétrico y su derivada generalmente se obtienen de ajustes a datos experimentales y se definen a partir del módulo de compresibilidad:

${\displaystyle B:=-V\left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)_{T}}$

Las dos constantes ${\displaystyle B_{0}}$ y ${\displaystyle B'_{0}}$ se definen como límites para ${\displaystyle P=0}$:

${\displaystyle B_{0}=\lim _{P\to 0}B=-V\left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)_{T,(P=0)}}$

y donde

${\displaystyle B_{0}'=\lim _{P\to 0}\left({\frac {\partial B}{\partial P}}\right)_{T}}$

La expresión de la ecuación de estado se obtiene expandiendo la energía libre f en forma de serie:

${\displaystyle f={\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{-{\frac {2}{3}}}-1\right]\,.}$

La energía interna, E(V), se encuentra mediante la integración de la presión:

${\displaystyle E(V)=E_{0}+{\frac {9V_{0}B_{0}}{16}}\left\{\left[\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{\frac {2}{3}}-1\right]^{3}B_{0}^{\prime }+\left[\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{\frac {2}{3}}-1\right]^{2}\left[6-4\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{\frac {2}{3}}\right]\right\}.}$