Gráfica de la función cotangente hiperbólica. En trigonometría, la cotangente hiperbólica de un número real x {\displaystyle x} , es una función hiperbólica definida como la inversa de la tangente hiperbólica . Se simboliza coth ( x ) {\displaystyle {\text{coth}}(x)} o cotgh ( x ) {\displaystyle {\text{cotgh}}(x)} y matemáticamente se sintetiza:
coth ( x ) = cosh ( x ) senh ( x ) = e x + e − x e x − e − x {\displaystyle \operatorname {coth} (x)={\frac {\operatorname {cosh} (x)}{\operatorname {senh} (x)}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}}
Características El dominio de la función está definido para ( − ∞ , 0 ) {\displaystyle (-\infty ,0)} y ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle (0,+\infty )} y su codominio queda definido para el intervalo ( − ∞ , − 1 ) {\displaystyle (-\infty ,-1)} y ( 1 , + ∞ ) {\displaystyle (1,+\infty )} . La función presenta una asíntota horizontal en y = − 1 {\displaystyle y=-1} y en y = 1 {\displaystyle y=1} . A ambos lados de la asíntota nos encontramos una función monótona estrictamente decreciente.
Derivación La derivada de la función es:
d d x coth x = 1 − coth 2 x = − 1 sinh 2 x = − csch 2 x {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\coth x=1-\coth ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}=-\operatorname {csch} ^{2}x}
Teorema de adición La función cotangente hiperbólica, como demuestra el teorema de adición , se puede sintetizar en:
coth ( α + β ) = 1 + coth α coth β coth α + coth β {\displaystyle \coth(\alpha +\beta )={\frac {1+\coth \alpha \,\coth \beta }{\coth \alpha +\coth \beta }}}
Véase también
Referencias
Enlaces externos Información sobre la función cotangente hiperbólica en wolfram.com (en inglés) Control de autoridades Proyectos Wikimedia Datos: Q359452
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