Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus sind Hyperbelfunktionen. Man nennt sie auch Hyperbeltangens oder hyperbolischen Tangens bzw. Hyperbelkotangens oder hyperbolischen Kotangens.
Inhaltsverzeichnis
1Schreibweisen
2Definitionen
3Eigenschaften
4Spezielle Werte
5Umkehrfunktionen
6Ableitungen
7Additionstheorem
8Integrale
8.1Stammfunktionen der Hyperbelfunktionen
8.2Tangens hyperbolicus cardinalis
9Weitere Darstellungen
9.1Summenreihen für tanh und coth
9.2Kettenbruchdarstellung
10Numerische Berechnung
11Differentialgleichung
12Komplexe Argumente
13Reihenentwicklungen
13.1Lambertsche Summenreihe
13.2Elliptische Produktreihe
14Anwendungen in der Physik
15Weblinks
16Einzelnachweise
Schreibweisen
Tangens hyperbolicus:
Kotangens hyperbolicus:
Definitionen
Hierbei bezeichnen und den Sinus hyperbolicus bzw. Kosinus hyperbolicus.
Eigenschaften
Tangens hyperbolicus
Kotangens hyperbolicus
Definitionsbereich
;
Wertebereich
;
Periodizität
keine
keine
Monotonie
streng monoton steigend
streng monoton fallend streng monoton fallend
Symmetrien
Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung
Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung
Asymptoten
Nullstellen
keine
Sprungstellen
keine
keine
Polstellen
keine
Extrema
keine
keine
Wendepunkte
keine
Spezielle Werte
Der Kotangens hyperbolicus hat zwei Fixpunkte, d. h., es gibt zwei , sodass
Der Tangens hyperbolicus ist eine Bijektion. Die Umkehrfunktion nennt man Areatangens hyperbolicus. Sie ist für Zahlen aus dem Intervall definiert und nimmt jede reelle Zahl als Wert an. Sie lässt sich durch den natürlichen Logarithmus ausdrücken:
Für die Umkehrung des Kotangens hyperbolicus gilt:
Ableitungen
Die -te Ableitung ist gegeben durch
mit den Euler-Zahlen An,k. Die Formel für die n-te Ableitung kann hergeleitet werden[1].
Wichtige Hinweise:
Der Sekans hyperbolicus ist das pythagoräische Gegenstück zum Tangens hyperbolicus:
Der Betrag des Kosekans hyperbolicus ist der pythagoräische Vorgänger des Kotangens hyperbolicus:
Additionstheorem
Es gilt das Additionstheorem
analog dazu:
Integrale
Stammfunktionen der Hyperbelfunktionen
Die Ursprungsstammfunktion des Tangens hyperbolicus ist der natürliche Logarithmus aus dem Kosinus hyperbolicus. Für den Kotangens hyperbolicus kann nur eine Stammfunktion mit einer Polstelle beim Wert angegeben werden:
Der Geschwindigkeit im freien Fall bezüglich der Zeit wird durch die Funktion des Tangens hyperbolicus beschrieben. Die Ursprungsstammfunktion des Tangens hyperbolicus beschreibt im freien Fall eines Objektes den Zeit-Ort-Verlauf. Denn der Weg ist grundsätzlich das Integral der Geschwindigkeit bezüglich der Zeit. Und diese Ursprungsstammfunktion des Tangens hyperbolicus ist der Logarithmus naturalis aus dem Kosinus hyperbolicus. Dementsprechend wird die Beschleunigung im freien Fall bezüglich der Zeit durch das Quadrat des Sekans hyperbolicus beschrieben. Denn die Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit bezüglich der Zeit. Und das Quadrat des Sekans hyperbolicus ist die Ableitung des Tangens hyperbolicus. Durch Involvierung des Widerstandsbeiwertes ergibt sich diese Differentialgleichung, die auf nachfolgende Weise gelöst wird:
Tangens hyperbolicus cardinalis
Wenn der Tangens hyperbolicus durch die identische Funktion geteilt wird, dann wird der Tangens hyperbolicus cardinalis gebildet. Das Integral von Null bis Unendlich von dieser Funktion divergiert ins Unendliche. Aber das Integral vom Quadrat des Tangens hyperbolicus cardinalis konvergiert und nimmt einen konkreten Wert an. Das Integral vom Kubus des Tangens hyperbolicus cardinalis konvergiert ebenso:
Grundsätzlich kann der Tangens hyperbolicus über die bekannte Formel
berechnet werden, wenn die Exponentialfunktion zur Verfügung steht. Es gibt jedoch folgende Probleme:
Große positive Operanden lösen einen Überlauf aus, obwohl das Endergebnis immer darstellbar ist.
Für Operanden nahe an 0 kommt es zu einer numerischen Auslöschung, womit das Ergebnis ungenau wird.
Fall 1: ist eine große positive Zahl mit :
,
wobei die Anzahl der signifikanten Dezimalziffern des verwendeten Zahlentyps ist, was zum Beispiel beim 64-Bit-Gleitkommatyp double 16 ist.
Fall 2: ist eine kleine negative Zahl mit :
Fall 3: ist nahe an 0, z. B. für :
lässt sich hier über die Taylorreihe sehr genau berechnen.
Fall 4: Alle übrigen :
Differentialgleichung
löst folgende Differentialgleichungen:
oder
mit und
Komplexe Argumente
Reihenentwicklungen
Lambertsche Summenreihe
Die Lambertschen Reihen beinhalten als Reihensummanden die rationalen Brüche aus den Potenzen mit exponentiellem Wuchs in Relation zum Summenindex. Die Lambertsche L-Funktion ist wie folgt[5] definiert:
Diese Kürzel wurden verwendet, damit diese Lambertsche Funktion nicht mit der Langevinschen Funktion in diesem Artikel weiter oben verwechselt wird.
Für die Hyperbelfunktionen gelten wie oben genannt diese beiden Formeln:
Die Summenreihen des Kotangens hyperbolicus und des Tangens hyperbolicus ergeben die Lambertschen L-Funktionswerte:
Die unendliche Summe der Kehrwerte der Mersenne-Zahlen ergibt die genannte Konstante.
Elliptische Produktreihe
Wenn Produktreihen aus dem Tangens hyperbolicus mit linearem Verlauf des inneren Eintrags bezüglich des Summenindex aufgestellt werden, dann entstehen elliptische Funktionswerte. Im Folgenden wird eine für alle elliptischen Moduln beziehungsweise numerischen Exzentrizitäten gültige Formel aufgestellt, die in Abhängigkeit vom Modul ein algebraisches Resultat ergibt:
Diese Formel wurde bei der zuvor genannten Gleichungskette hervorgebracht:
Nun werden einige Werte in diese Gleichungen eingesetzt:
Modulwerte
Resultierende Tangens-hyperbolicus-Gleichungen
Mit den Werten der elliptischen Lambda-Stern-Funktion können weitere Werte über genau diese Formel ermittelt werden. Die Werte der Hermiteschen elliptischen Psifunktion erscheinen als Resultate:
Modulwerte
Resultierende Tangens-hyperbolicus-Gleichungen
Anwendungen in der Physik
Tangens und Kotangens hyperbolicus können benutzt werden, um die zeitliche Abhängigkeit der Geschwindigkeit beim Fall mit Luftwiderstand oder auch beim Wurf nach unten zu beschreiben, wenn für den Strömungswiderstand eine turbulente Strömung angesetzt wird (Newton-Reibung). Das Koordinatensystem werde so gelegt, dass die Ortsachse nach oben zeigt. Für die Geschwindigkeit gilt dann eine Differenzialgleichung der Form mit der Schwerebeschleunigungg und einer Konstanten k > 0 mit der Einheit 1/m. Es gibt dann immer eine Grenzgeschwindigkeit , die für erreicht wird, und es gilt:
beim Fall oder Wurf nach unten mit einer Anfangsgeschwindigkeit kleiner als die Grenzgeschwindigkeit: mit
beim Wurf nach unten mit einer Anfangsgeschwindigkeit größer als die Grenzgeschwindigkeit: mit
Der Tangens hyperbolicus beschreibt ferner die thermische Besetzung eines Zwei-Zustands-Systems in der Quantenmechanik: Ist n die gesamte Besetzung der beiden Zustände und E ihr Energie-Unterschied, so ergibt sich für die Differenz der Besetzungszahlen , wobei die Boltzmann-Konstante und T die absolute Temperatur ist.
Der Kotangens hyperbolicus tritt auch in der Kosmologie auf: Die zeitliche Entwicklung des Hubble-Parameters in einem flachen Universum, das im Wesentlichen nur Materie und Dunkle Energie enthält (was ein gutes Modell für unser tatsächliches Universum ist), wird beschrieben durch , wobei eine charakteristische Zeitskala ist und der Grenzwert des Hubble-Parameters für ist ( ist dabei der heutige Wert des Hubble-Parameters, der Dichteparameter für die Dunkle Energie). (Dieses Ergebnis ergibt sich leicht aus dem zeitlichen Verhalten des Skalenparameters, das aus den Friedmann-Gleichungen abgeleitet werden kann.) Bei der Zeitabhängigkeit des Dichteparameters der Dunklen Energie tritt dagegen der Tangens hyperbolicus auf: .
↑Grzegorz Rzadkowski: Derivatives and Eulerian Numbers. In: The American Mathematical Monthly. Band115, Nr.5, Mai 2008, ISSN0002-9890, S.458–460, doi:10.1080/00029890.2008.11920551 (tandfonline.com [abgerufen am 17. Oktober 2023]).
↑Maple bugs: Thomas Richard: Hurrah, Maple quality improves! – Example 4. Abgerufen am 3. Januar 2023 (amerikanisches Englisch).
↑complex analysis – A curious integral. Abgerufen am 3. Januar 2023 (englisch).
↑sequences and series – What are the exact limits of validity of the Abel-Plana summation formula? Abgerufen am 3. Januar 2023 (englisch).