Der Satz von Binet-Cauchy ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet Lineare Algebra. Der nach Jacques Philippe Marie Binet und Augustin-Louis Cauchy benannte Satz besteht aus einer Formel zur Berechnung der Determinante einer quadratischen Matrix
. Um ihn anzuwenden, muss eine Produktdarstellung
bekannt sein. Der Satz von Binet-Cauchy verallgemeinert den Determinantenproduktsatz, der sich als Spezialfall ergibt, wenn
und
quadratisch sind.
Satz
Sind
eine
-Matrix und
eine
-Matrix, dann berechnet sich die Determinante von
durch Aufsummieren aller Produkte aus je einem
-dimensionalen Minor von
und
:
![{\displaystyle \det(A\cdot B)=\sum _{S\subseteq \{1,2,\ldots ,m\} \atop |S|=n}\det(A_{S})\det(B_{S})=\sum _{S\subseteq \{1,2,\ldots ,m\} \atop |S|=n}\det(A_{S}\cdot B_{S})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b468207bf54d63ba46270eb047245f8a5594535d)
Die Untermatrizen
und
ergeben sich aus den Matrizen
und
wenn nur die Spalten aus
bzw. Zeilen aus
verwendet werden, deren Nummern in
vorkommen. Dabei muss die ursprüngliche Reihenfolge der Spalten bzw. Zeilen jedoch erhalten bleiben. Ist
, dann gibt es solche Untermatrizen nicht und es gilt
.
Gilt
, dann gibt es genau eine Teilmenge
und es gilt
.
Beispiel
In diesem Beispiel wird die Determinante der Matrix
mit Hilfe des Satzes von Binet-Cauchy berechnet. Für diese Matrix ist die folgende Produktdarstellung gegeben:
.
Nach dem Satz von Binet-Cauchy gilt:
![{\displaystyle \det(C)=\sum _{S\subseteq \{1,2,3\} \atop |S|=2}\det(A_{S})\det(B_{S})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da62775b19d345b99acada3ab645120ade22185)
![{\displaystyle \qquad =\det(A_{\{1,2\}})\cdot \det(B_{\{1,2\}})+\det(A_{\{2,3\}})\cdot \det(B_{\{2,3\}})+\det(A_{\{1,3\}})\cdot \det(B_{\{1,3\}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/498cf72e601bb4ec2d0a93f63dd7f2f01ceb9e75)
![{\displaystyle \qquad =\det {\begin{pmatrix}1&2\\4&5\end{pmatrix}}\cdot \det {\begin{pmatrix}7&8\\9&10\end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}2&3\\5&6\end{pmatrix}}\cdot \det {\begin{pmatrix}9&10\\11&12\end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}1&3\\4&6\end{pmatrix}}\cdot \det {\begin{pmatrix}7&8\\11&12\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1923eb30a7f5db67fd6fe515884fc9048b4004e6)
![{\displaystyle \qquad =(-3)\cdot (-2)+(-3)\cdot (-2)+(-6)\cdot (-4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12c0d8be0c26aba3010a56cfd666d097f2e1dcee)
.
Literatur
- Felix R. Gantmacher: Matrizentheorie. Springer-Verlag, 1986, ISBN 3-540-16582-7, S. 28–29
- Igor R. Shafarevich, Alexey O. Remizov: Linear Algebra and Geometry, Springer, 2012, ISBN 978-3-642-30993-9, §2.9 (S. 68) & §10.5 (S. 377)