Pfeilkategorie

Pfeilkategorien sind eine Konstruktion aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie. Zu jeder Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ existiert die Pfeilkategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathbf {2} }}$ (oder ${\displaystyle [\mathbf {2} ,{\mathcal {C}}]}$ oder ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\rightarrow }}$), ihre Objekte sind die Morphismen aus ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, ihre Morphismen sind kommutative Quadrate.

Sei ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ eine Kategorie. Die Objekte in der Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathbf {2} }}$ sind die Morphismen aus ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. Ein Morphismus ${\displaystyle (\varphi ,\psi )}$ zwischen den Objekten ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ in der Pfeilkategorie ist dann durch das kommutative Quadrat

gegeben, wobei die Komposition durch vertikale Verkettung dieser Diagramme erfolgt.^[1]

Sei ${\displaystyle \mathbf {2} }$ eine Kategorie bestehend aus zwei Objekten und einem Morphismen zwischen ihnen (angedeutet durch das Diagramm ${\displaystyle 0\to 1}$). So ist die Pfeilkategorie zu ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ definiert als Funktorkategorie aller Funktoren von ${\displaystyle \mathbf {2} }$ nach ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ mit natürlichen Transformationen als Morphismen. Der Diagonalfunktor erlaubt eine volltreue Einbettung von ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ in diese Kategorie.^[2]

Die Pfeilkategorie lässt sich als Kommakategorie ${\displaystyle (id_{\mathcal {C}}\downarrow id_{\mathcal {C}})}$ definieren, wobei ${\displaystyle id_{\mathcal {C}}}$ den identischen Funktor auf ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ bezeichne.

Oft betrachtet man auch volle Unterkategorien der Pfeilkategorie zu einer Kategorie, d. h. man beschränkt sich auf bestimmte Morphismen, welche man als Objekte auswählt. In der Topologie etwa definiert man die Kategorie der Raumpaare als die volle Unterkategorie von ${\displaystyle \mathbf {Top} ^{\mathbf {2} }}$, welche nur die Einbettungen (das sind gerade die extremen Monomorphismen) als Objekte besitzt. In Homologietheorien gemäß der Eilenberg-Steenrod-Axiome bilden die relativen Homologiefunktoren Funktoren auf dieser Kategorie der Raumpaare.

• arrow category, Eintrag im nLab. (englisch)

1. ↑ Saunders Mac Lane und Ieke Moerdijk: Sheaves in Geometry and Logic. A First Introduction to Topos Theory. Springer, New York 1992, ISBN 0-387-97710-4, S. 25. 
2. ↑ Mac Lane, Moerdijk, S. 27