Das Milstein-Verfahren der stochastischen Analysis bezeichnet eine Methode für die numerische Lösung von stochastischen Differentialgleichungen (SDGL), benannt nach dem russischen Mathematiker Grigori Noichowitsch Milstein (Staatliche Gorki-Universität des Uralgebiets).
Algorithmus
Betrachte die Itō-SDGL
![{\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=a(X_{t})\,\mathrm {d} t+b(X_{t})\,\mathrm {d} W_{t},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b82632482015a258a361fc0ec599848efd03003f)
mit Anfangsbedingung
, wobei
den Wiener-Prozess bezeichnet. Soll eine Lösung auf dem Intervall
gefunden werden, so erhält man durch das Milstein-Verfahren eine Approximation
für die wahre Lösung
auf einem äquidistanten Gitter:
- Zerlege das Intervall
in
gleich lange Teilintervalle der Länge
:
und
.
- Setze
.
- Definiere
für
durch
![{\displaystyle Y_{n+1}:=Y_{n}+a(Y_{n})\delta +b(Y_{n})\Delta W_{n}+{\frac {1}{2}}b(Y_{n})b'(Y_{n})\left((\Delta W_{n})^{2}-\delta \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ec8b305e3c3c477f1b10a3e96e0e3d8e00f6776)
wobei
![{\displaystyle \Delta W_{n}=W_{\tau _{n+1}}-W_{\tau _{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/848e37c7fa5bc03ca528504a6fa364a886f37213)
und
die Ableitung von
bezüglich
ist. Beachte, dass die Zufallsvariablen
unabhängig normalverteilt sind mit Erwartungswert 0 und Varianz
.
Konvergenz
Mit den obigen Bezeichnungen gilt
für
und alle
, weshalb man von Konvergenz erster Ordnung spricht.
ist dabei ein Landau-Symbol.
Siehe auch
Literatur
- Peter E. Kloeden, Eckhard Platen: Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Springer, Berlin, 1999, ISBN 3-540-54062-8.