Familien-Indexsatz

In der Mathematik ist der Familien-Indexsatz eine Verallgemeinerung des Indexsatzes von Atiyah-Singer auf Familien von Differentialoperatoren, d. h. Faserbündel mit faserweisen Differentialoperatoren.

Sei ${\displaystyle E\to X}$ ein Vektorbündel. Sei ${\displaystyle \pi \colon Z\to Y}$ ein Faserbündel mit Faser ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle p\colon {\widetilde {E}}\to Z}$ ein Faserbündel, so dass ${\displaystyle \pi \circ p\colon {\widetilde {E}}\to Y}$ ein Faserbündel mit Faser ${\displaystyle E}$ ist.

Für Vektorbündel ${\displaystyle E,F}$ über ${\displaystyle X}$ bezeichne mit ${\displaystyle {\overline {{\mathcal {P}}^{m}}}(X,E,F)}$ die Vervollständigung des Raums der Pseudodifferentialoperatoren ${\displaystyle m}$-ter Ordnung von ${\displaystyle C^{\infty }(X,E)}$ nach ${\displaystyle C^{\infty }(X,F)}$. Man kann dann ein Faserbündel ${\displaystyle {\overline {{\mathcal {P}}^{m}}}(Z,{\widetilde {E}},{\widetilde {F}})}$ über ${\displaystyle Y}$ mit Faser ${\displaystyle {\overline {{\mathcal {P}}^{m}}}(X,E,F)}$ konstruieren. Ein stetiger Schnitt dieses Bündels ist eine durch ${\displaystyle X}$ parametrisierte stetige Familie von Pseudodifferentialoperatoren. Eine solche Familie heißt elliptisch, wenn jedes ${\displaystyle P_{y},y\in Y}$ ein elliptischer Pseudodifferentialoperator ist. Weiter kann man ein „Symbolbündel“ ${\displaystyle Symb(Z,{\widetilde {E}},{\widetilde {F}})}$ und eine Symbolabbildung ${\displaystyle {\overline {{\mathcal {P}}^{m}}}(Z,{\widetilde {E}},{\widetilde {F}})\to Symb(Z,{\widetilde {E}},{\widetilde {F}})}$ konstruieren.

Nach dem Satz von Atiyah-Jänich entspricht eine durch ${\displaystyle y\in Y}$ parametrisierte Familie von Fredholm-Operatoren ${\displaystyle P_{y}}$ einem Element in ${\displaystyle K(Y)}$, der topologischen K-Theorie von ${\displaystyle Y}$. Dieses Element wird als ${\displaystyle ind(P)}$ bezeichnet. Es hängt nur vom Symbol ${\displaystyle \sigma }$ ab und kann deshalb auch als ${\displaystyle ind(\sigma )}$ bezeichnet werden. Durch ${\displaystyle \sigma \to ind(\sigma )}$ erhält man also für den Thom-Raum ${\displaystyle TZ}$ des Vektorbündels ${\displaystyle Z}$ eine Abbildung ${\displaystyle K(TZ)\to K(Y)}$, den „analytischen Index“ der Familie ${\displaystyle P_{y}}$.

Andererseits kann man den „topologischen Index“ der Familie ${\displaystyle P_{y}}$ definieren wie folgt. Nach dem Einbettungssatz von Whitney hat man eine Einbettung ${\displaystyle X\to \mathbb {R} ^{k}}$ und dann eine Einbettung ${\displaystyle i\colon Y\to Z\times \mathbb {R} ^{k}}$. Für die Thom-Räume erhält man einen Homomorphismus ${\displaystyle i_{!}\colon K(TZ)\to K(Y\times T\mathbb {R} ^{k})}$. Weiter hat man durch Bott-Periodizität einen Isomorphismus ${\displaystyle j_{!}\colon K(Y)\to K(Y\times T\mathbb {R} ^{k})}$. Die Abbildung ${\displaystyle j_{!}^{-1}i_{!}\colon K(TZ)\to K(Y)}$ ist der topologische Index.

Der Familien-Indexsatz besagt, dass für eine Familie elliptischer Operatoren ${\displaystyle P_{y},y\in Y}$ über einem kompakten Raum ${\displaystyle Y}$ der analytische und topologische Index übereinstimmen.

Die kohomologische Version des Familien-Indexsatzes besagt

${\displaystyle ch(ind(P))=(-1)^{n}\pi _{*}(ch(u)\cdot {\mathcal {T}}(Z))}$,

wobei ${\displaystyle \pi _{*}\colon H^{*}(TZ)\to H^{*}(Y)}$ der Gysin-Homomorphismus ist, ${\displaystyle u\in K(TZ)}$ die Klasse des Symbols von ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle {\mathcal {T}}(Z)}$ die Todd-Klasse der Komplexifizierung von ${\displaystyle Z}$, und ${\displaystyle n=dim(X)}$. Anders als beim Atiyah-Singer-Indexsatz ist die kohomologische Version hier nicht äquivalent, sondern schwächer als der Familien-Indexsatz, da der Chern-Charakter ${\displaystyle ch\colon K(Y)\to H^{*}(Y,\mathbb {Q} )}$ nicht injektiv sein muss.

• J.-M. Bismut: The index theorem for families of Dirac operators: two heat equation proofs. Invent. Math. 83, 91–151, 1986
• Kapitel 10 in N. Berline, E. Getzler, M. Vergne: Heat Kernels and Dirac Operators. Paperback Ed., Grundlehren Text Editions. Berlin: Springer, 2004