Erdős-Raum

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie ist der Erdős-Raum ein spezieller topologischer Raum, der von Paul Erdős im Jahr 1940 entdeckt wurde.^[1] Der Erdős-Raum ist definiert als ein Teilraum ${\displaystyle E\subset \ell ^{2}}$ des Hilbertraumes der quadratsummierbaren Folgen, bestehend aus allen Folgen, deren Elemente alle rational sind.

${\displaystyle E}$ ist ein total unzusammenhängender, eindimensionaler topologischer Raum und homöomorph zu ${\displaystyle E\times E}$ mit der Produkttopologie. Wird die Menge aller Homöomorphismen des euklidischen Raumes ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (für ${\displaystyle n\geq 2}$), welche die Teilmenge ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}}$ der rationalen Vektoren invariant lassen, mit der Kompakt-Offen-Topologie ausgestattet, ist der Raum homöomorph zu ${\displaystyle E}$.^[2]

Der Erdős-Raum spielt auch in der komplexen Dynamik bei der Iteration der Funktion ${\displaystyle f(z)=e^{z}-1}$ eine Rolle. Sei ${\displaystyle f^{n}}$ die ${\displaystyle n}$-fache Komposition von ${\displaystyle f}$, dann besteht die Menge der Punkte ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle {\text{Im}}(f^{n}(z))\to \infty }$ aus paarweise disjunkten und zu ${\displaystyle [0,\infty )}$ homöomorphen Strahlen, welche also von Startpunkten ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ “in die Unendlichkeit laufen”. Die Menge dieser Startpunkte ist homöomorph zu ${\displaystyle E}$.^[3]