Vícerozměrná náhodná proměnná nebo náhodný vektor je v teorii pravděpodobnosti a statistice seznam matematických proměnných, jehož žádná hodnota není známa, buď protože zatím nebyla pozorována, nebo protože její hodnotu neznáme přesně. Jednotlivé proměnné jsou sdružené v náhodném vektoru, protože tvoří části jednoho matematického systému – často reprezentují různé vlastnosti určité statistické jednotky. Pokud například chceme zachytit, že každá osoba má určitý věk, výšku a hmotnost, lze tyto vlastnosti blíže neurčené osoby z určité skupiny reprezentovat náhodným vektorem. Prvky náhodných vektorů jsou obvykle reálná čísla.
Náhodné vektory se často používají jako podkladová implementace různých typů agregátů náhodných proměnných, například náhodných matic, náhodných stromů, náhodných posloupností, náhodných procesů apod.
Formálněji vícerozměrná náhodná proměnná je sloupcový vektor
(nebo řádkový vektor, který je jeho transpozicí), jehož složkami jsou skalární náhodné proměnné, všechny na stejném pravděpodobnostním prostoru
, kde
je prostor elementárních jevů,
je sigma algebra (kolekce všech událostí) a
je pravděpodobnostní míra (funkce vracející pravděpodobnost každé události).
Pravděpodobnost rozdělení
Hodnoty náhodného vektoru vytváří pravděpodobnostní míru na
s borelovskou algebrou jako podkladovou sigma-algebrou, která definuje sdružené rozdělení pravděpodobnosti, sdružené rozdělení nebo vícerozměrné rozdělení náhodného vektoru.
Rozdělení pravděpodobnosti každé složky náhodného vektoru
se nazývají marginální rozdělení. Podmíněné rozdělení pravděpodobnosti
pro dané
je rozdělení pravděpodobnosti
, je-li
známé, aby byla určitý hodnota.
Distribuční funkce
náhodného vektoru
je definována jako[1]:s.15
![{\displaystyle F_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )=\operatorname {P} (X_{1}\leq x_{1},\ldots ,X_{n}\leq x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13ad8b4311ebf247c4854daeb4b4c76dbcbfc00e) | | (1) |
kde
.
Operace s náhodnými vektory
S náhodnými vektory lze provádět stejné algebraické operace jako s obyčejnými vektory: sčítání, odčítání, násobení skalárem a skalární součin.
Podobně nový náhodný vektor
lze definovat aplikací afinní transformace
na náhodný vektor
:
, kde
je matice
a
je sloupcový vektor
.
Pokud
je invertovatelná matice a
má hustotu pravděpodobnosti
, pak hustota pravděpodobnosti
je
.
Invertovatelná zobrazení
Obecněji můžeme studovat invertovatelná zobrazení náhodných vektorů.[2]:s.290–291
Nechť
je bijektivní zobrazení z otevřené podmnožiny
na podmnožinu
, nechť
má spojité parciální derivace v
a nechť Jacobián
není nulový v žádném bodě
. Předpokládejme, že reálný náhodný vektor
má hustotu pravděpodobnosti
a vyhovuje
. Pak náhodný vektor
má hustotu pravděpodobnosti
![{\displaystyle \left.f_{\mathbf {Y} }(\mathbf {y} )={\frac {f_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )}{\left|\det {\frac {\partial g(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {x} }}\right|}}\right|_{\mathbf {x} =g^{-1}(\mathbf {y} )}\mathbf {1} (\mathbf {y} \in R_{\mathbf {Y} })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffeb29d134e2a010d1074002ec6e36cae4ff0dbc)
kde
označuje charakteristickou funkci a množina
označuje nosič
.
Střední hodnota
Střední hodnota nebo očekávaná hodnota náhodného vektoru
je pevný vektor
, jehož prvky jsou střední hodnoty příslušné náhodné proměnné.[3]:s.333
![{\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {X} ]=(\operatorname {E} [X_{1}],...,\operatorname {E} [X_{n}])^{\mathrm {T} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb2b77d329025627999ff8a4ac19c3dcb12c8af1) | | (2) |
Kovariance a křížová kovariance
Definice
Kovarianční matice (také nazývaná druhý centrální moment) náhodného vektoru
je matice,
jejíž prvek (i,j) je kovariance mezi i-tou a j-tou náhodnou proměnnou. Kovarianční matice je střední hodnota, prvek po prvku, matice
vypočítané jako
, kde horní index T je transpozice vektoru:[2]:s.464[3]:s.335
![{\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }=\operatorname {Var} [\mathbf {X} ]=\operatorname {E} [(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])^{T}]=\operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {X} ^{T}]-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {X} ]^{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/832c09d3bfed857c48003e7fc636541db3d12f5a) | | (3) |
Rozšířením křížová kovarianční matice mezi dvěma náhodnými vektory
a
(
s
prvky a
s
prvky) je matice
[3]:s.336
![{\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\operatorname {Cov} [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]=\operatorname {E} [(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])^{T}]=\operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{T}]-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fc40423a3bffc9a6cbfef4423ca44b501b807ab) | | (4) |
kde střední hodnota matice se opět bere po složkách. Prvek (i,j) je kovariance mezi i-tým prvkem
a j-tým prvkem
.
Vlastnosti
Kovarianční matice je symetrická matice, tj.[2].:s.466
.
Kovarianční matice je kladně semidefinitní matice, i.e[2].:s.465
.
Křížová kovarianční matice
je transpozicí matice
, tj.
.
Nekorelovanost
Dva náhodné vektory
a
se nazývají nekorelované, pokud
.
Jsou nekorelované právě tehdy, když jejich křížová kovarianční matice
je nulová.[3]:s.337
Korelace a křížová korelace
Definice
Autokorelační matice (také nazývaná druhý moment) náhodného vektoru
je matice
, jejíž prvek (i,j) je korelace mezi náhodnými proměnnými i th a j th. Korelační matice je očekávaná hodnota, prvek po prvku, matice
vypočítané jako
, kde horní index T znamená transpozici příslušného vektoru:[4]:s.190[3]:s.334
![{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }=\operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {X} ^{\mathrm {T} }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4bb7af4f585dfa9c3e53939ad69802f1e112150) | | (5) |
Rozšířením křížové korelační matice mezi dvěma náhodnými vektory
a
(
s
prvky a
s
prvky) je matice
![{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{T}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2068dba590bf3230ca69509a143ee7ce4013e979) | | (6) |
Vlastnosti
Korelační matice má souvislost s kovarianční matice by
.
Podobně pro křížová korelace matice a křížová kovarianční matice:
![{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }+\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4efa28447cc9ee6d8b3b0023ab2fc652c5717f2e)
Ortogonalita
Dva náhodné vektory stejné velikosti
a
se nazývají ortogonální, jestliže
.
Nezávislost
Podrobnější informace naleznete v článku Nezávislost (teorie pravděpodobnosti).
Dva náhodné vektory
a
se nazývají nezávislé, jestliže pro všechny
a
![{\displaystyle F_{\mathbf {X,Y} }(\mathbf {x,y} )=F_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )\cdot F_{\mathbf {Y} }(\mathbf {y} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd8491ad5d5c859ad662b18465bd258f0090c4bb)
kde
a
značí kumulativní rozdělení funkce
a
a
označuje jejich sdružené distribuční funkce. Nezávislost
a
se často značí
. Rozepsáno po složkách, o
a
říkáme, že jsou nezávislé, pokud pro všechny
.
Charakteristická funkce
Charakteristická funkce náhodného vektoru
s
složkami je funkce
které převádí každý vektor
na složitý rumber. je definovaný by[2]:s.468
.
Další vlastnosti
Střední hodnotu kvadratické formy můžeme vyjádřit náhodným vektorem
takto:[5]:s.170–171
![{\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {X} ^{T}A\mathbf {X} ]=\operatorname {E} [\mathbf {X} ]^{T}A\operatorname {E} [\mathbf {X} ]+\operatorname {tr} (AK_{\mathbf {X} \mathbf {X} }),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b9dfcc4b9bca76f1a66522e7b7603bd7adca96a)
kde
je kovarianční matice
a
je stopa matice – tj. součet prvků na její hlavní diagonále (shora zleva dolů doprava). Protože kvadratická forma je skalární, bude skalár i její střední hodnota.
Důkaz: Nechť
jsou náhodný vektor
s
a
a nechť
je nestochastická matice
.
Pak podle vzorce pro kovarianci, jestliže označíme
a
, vidíme, že:
![{\displaystyle \operatorname {Cov} [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]=\operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{T}]-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9d84e6ce8bc9899e40bf71a837a358dd49d9f17)
Tudíž
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [XY^{T}]&=\operatorname {Cov} [X,Y]+\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]^{T}\\\operatorname {E} [z^{T}Az]&=\operatorname {Cov} [z^{T},z^{T}A^{T}]+\operatorname {E} [z^{T}]\operatorname {E} [z^{T}A^{T}]^{T}\\&=\operatorname {Cov} [z^{T},z^{T}A^{T}]+\mu ^{T}(\mu ^{T}A^{T})^{T}\\&=\operatorname {Cov} [z^{T},z^{T}A^{T}]+\mu ^{T}A\mu ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1248dedb225ea14b29d71dc4c7d97a07cbee7026)
nyní zbývá pouze ukázat, že
![{\displaystyle \operatorname {Cov} [z^{T},z^{T}A^{T}]=\operatorname {tr} (AV).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7abae2aaa5d16ade185de7982d6debf5f8d5327b)
To je splněno díky tomu, že můžeme cyklicky permutovat matici bez změny konečného výsledku (např.:
).
Vidíme, že
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cov} [z^{T},z^{T}A^{T}]&=\operatorname {E} \left[\left(z^{T}-E(z^{T})\right)\left(z^{T}A^{T}-E\left(z^{T}A^{T}\right)\right)^{T}\right]\\&=\operatorname {E} \left[(z^{T}-\mu ^{T})(z^{T}A^{T}-\mu ^{T}A^{T})^{T}\right]\\&=\operatorname {E} \left[(z-\mu )^{T}(Az-A\mu )\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc6d588e480ee364b9a02a3ab231217bc8ddbfa6)
Protože
![{\displaystyle \left({z-\mu }\right)^{T}\left({Az-A\mu }\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ce7255c2b558199d78c3695294acea5d9fae73a)
je skalár, pak
![{\displaystyle (z-\mu )^{T}(Az-A\mu )=\operatorname {tr} \left({(z-\mu )^{T}(Az-A\mu )}\right)=\operatorname {tr} \left((z-\mu )^{T}A(z-\mu )\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e6f9b51cd233331ffa7bc8740f60edffd1cfd85)
triviálně. Při použití permutace dostaneme:
![{\displaystyle \operatorname {tr} \left({(z-\mu )^{T}A(z-\mu )}\right)=\operatorname {tr} \left({A(z-\mu )(z-\mu )^{T}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f5ba98fe2cc12d785b9e8cbf3194d972417814e)
a dosazením do původní formule dostaneme:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cov} \left[{z^{T},z^{T}A^{T}}\right]&=E\left[{\left({z-\mu }\right)^{T}(Az-A\mu )}\right]\\&=E\left[\operatorname {tr} \left(A(z-\mu )(z-\mu )^{T}\right)\right]\\&=\operatorname {tr} \left({A\cdot \operatorname {E} \left((z-\mu )(z-\mu )^{T}\right)}\right)\\&=\operatorname {tr} (AV).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/577d2617a04eb2dce0255889dbe7af3997cfabb1)
Střední hodnota součinu dvou různých kvadratických forem
Můžeme vzít střední hodnotu součinu ze dvou různý kvadratických forem náhodný vektor
ve vícerozměrném normálním rozdělení s nulovou střední hodnotou takto:[5]:s.stránky 162–176
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[(\mathbf {X} ^{T}A\mathbf {X} )(\mathbf {X} ^{T}B\mathbf {X} )\right]=2\operatorname {tr} (AK_{\mathbf {X} \mathbf {X} }BK_{\mathbf {X} \mathbf {X} })+\operatorname {tr} (AK_{\mathbf {X} \mathbf {X} })\operatorname {tr} (BK_{\mathbf {X} \mathbf {X} })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82326436dbf5e99dbe52e69dbddceb9b4150a9fa)
kde opět
je kovarianční matice
. Opět, protože obě kvadratické formy jsou skaláry a tedy jejich součin je skalár, střední hodnota jejich součinu je také skalární.
Aplikace
Teorie portfolia
V teorii portfolia ve finančnictví často slouží účelová funkce k výběru portfolia rizikového majetku tak, aby rozdělení výnosu náhodného portfolia mělo požadované vlastnosti. Můžeme například chtít vybrat výnos portfolia, který bude mít nejnižší rozptyl pro danou střední hodnotu. Náhodný vektor je zde vektor
náhodných výnosů z určitého majetku a výnos portfolia p (náhodná skalární hodnota) je skalárním součinem vektoru náhodných výnosů s vektorem w vah portfolia – části portfolia alokovaného na příslušný majetek. Protože p = wT
, střední hodnota výnosu portfolia je wTE(
) a rozptyl výnosu portfolia bude wTCw, kde C je kovarianční matice
.
Teorie regrese
V teorii lineární regrese máme data z n pozorování závislé proměnné y a n pozorování každé z k nezávislých proměnných xj. Pozorování závislých proměnných jsou uspořádána do sloupcového vektoru y; pozorování každé nezávislé proměnné jsou uspořádána do sloupcových vektorů, které tvoří regresní matici X (neznamenající v tomto kontextu náhodný vektor) pozorování nezávislé proměnné. Pak následující regresní rovnice prohlásíme za popis procesu, který generoval data:
![{\displaystyle y=X\beta +e,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3940aae84e376feaf1abb80f096dc5bd866b157)
kde β je pevný, ale neznámý vektor k koeficientů odezvy a e je neznámý náhodný vektor odrážející náhodné vlivy na závislou proměnnou. Nějakou zvolenou technikou jako například pomocí obyčejných nejmenších čtverců dostaneme vektor
, který je odhadem β, pomocí něhož vypočítáme
, odhad vektoru e
![{\displaystyle {\hat {e}}=y-X{\hat {\beta }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e018ea3b7ebf9e90d53fd573d51123d9ea260bd)
Statistik pak musí analyzovat vlastnosti
a
, na které pohlížíme jako na náhodné vektory, protože náhodný výběr n pozorovaných případů způsobuje, že budou mít různé hodnoty.
Vektorová časová řada
Vývoj náhodného vektoru k×1
v čase lze modelovat jako vektorovou autoregresi (VAR) takto:
![{\displaystyle \mathbf {X} _{t}=c+A_{1}\mathbf {X} _{t-1}+A_{2}\mathbf {X} _{t-2}+\cdots +A_{p}\mathbf {X} _{t-p}+\mathbf {e} _{t},\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eb905df49bd5615febd034a92ff977876e8acf4)
kde vektor pozorování
o i period zpět se nazývá i-té zpoždění
, c je k × 1 vektor konstant, Ai je časově invariantní matice k × k a
je náhodný vektor k × 1 chybových členů.
Odkazy
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Multivariate random variable na anglické Wikipedii.
- ↑ GALLAGER, Robert G. Stochastic Processes Theory for Applications. [s.l.]: Cambridge University Press, 2013. ISBN 978-1-107-03975-9.
- ↑ a b c d e LAPIDOTH, Amos. A foundation in Digital Communication. [s.l.]: Cambridge University Press, 2009.
- ↑ a b c d e GUBNER, John A. Probability and Random Processes for Electrical and Computer Engineers. [s.l.]: Cambridge University Press, 2006. ISBN 978-0-521-86470-1.
- ↑ PAPOULIS, Athanasius. Probability, Random variables and Stochastic processes. [s.l.]: McGraw-Hill, 1991.
- ↑ a b KENDRICK, David. Stochastic Control for Economic Models. [s.l.]: McGraw-Hill, 1981. Dostupné online.
Související články