Totálně omezený metrický prostor
![ikona](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2c/Broom_icon.svg/48px-Broom_icon.svg.png)
Nejobecnější definice totálně omezeného metrického prostoru je:
podmnožina S prostoru X je totálně omezená tehdy a pouze tehdy, pokud pro danou velikost E existuje:
- přirozené číslo n a soubor podmnožin množiny X, takový, že
- S je podmnožinou sjednocení těchto podmnožin (jinak řečeno, tento soubor podmnožin je konečné pokrytí množiny S) a
- každá podmnožina Ai má velikost E (nebo menší).
V matematické symbolice:
Uvažujeme-li P=X, pak je prostor X totálně omezený tehdy a jen tehdy, je li P totálně omezená množina.
Porovnání s omezenou množinou
- Totální omezenost je silnější vlastnost, než omezenost.
Ukážeme to na příkladu. Uvažme prostor všech omezených posloupností reálných čísel, kde metrika přiřadí dvojici posloupností supremum z absolutní hodnoty jejich rozdílu přes všechny položky, tedy supremum z čísel .
Uvažme množinu těch posloupností, které na každé pozici mají 2 nebo -2.
Metrický prostor není omezený (ačkoli obsahuje pouze omezené posloupnosti). Množina je omezená, ale nikoli totálně omezená. Omezenost plyne z toho, že každý prvek má od posloupnosti samých nul vzdálenost nejvýše 2. Kdyby byl totálně omezený, pak by pro existovala konečná -síť , jejíž prvky můžeme označit , kde je počet jejích prvků.
Pak by bylo možné definovat posloupnost , definovanou takto:
- , pokud a
- , pokud a
- , pokud
Symbol značí -tý prvek -té posloupnosti v množině . Myšlenka důkazu je v tom, že posloupnost se musí "dostatečně lišit" od každé posloupnosti , čehož dosáhneme tak, že pro každé vhodnou volbou zajistíme dostatečnou odlišnost od posloupnosti
Z předpokladu totální omezenosti vyplývá, že nějaký prvek má od posloupnosti vzdálenost menší, než 1. Z definice však plyne, že číslo je od čísla vzdálené nejméně 2, takže i vzdálenost těchto posloupností (což je supremum vzdáleností na jednotlivých položkách) musí být nejméně 2, což je spor.
Prekompaktní množina
![ikona](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2c/Broom_icon.svg/48px-Broom_icon.svg.png)
Prekompaktní množina, nebo též totálně omezená množina, je taková množina bodů metrického prostoru, která jde vždy pokrýt konečným počtem stejných koulí o libovolně malém poloměru.
Definice
Množina v metrickém prostoru se nazývá prekompaktní, jestliže ke každému existuje v konečná množina bodů s vlastností , kde jsou -okolí (koule se středem a poloměrem ).
Vlastnosti
Množina je prekompaktní právě tehdy, když z každé posloupnosti prvků lze vybrat cauchyovskou posloupnost.
Prekompaktní množina je omezená. Kompaktní množiny jsou ty, které jsou prekompaktní a úplné.
Na úplných metrických prostorech prekompaktní množiny a relativně kompaktní množiny splývají.
Odkazy
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Totally bounded space na anglické Wikipedii.
Související články
![]() | Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty. |