Grafy mocninných funkcí x 2 , x 3 a −x −2 Mocninná funkce je elementární matematická funkce , jejíž hodnoty jsou přímo úměrné určité mocnině proměnné, tedy funkce tvaru
f : x ↦ a x r a , r ∈ R , {\displaystyle f\colon x\mapsto ax^{r}\qquad a,r\in \mathbb {R} ,} kde a {\displaystyle a} a r {\displaystyle r} jsou konstanty a x {\displaystyle x} je proměnná. Konstanta r {\displaystyle r} se nazývá exponent.
Mocninná funkce, jejíž exponent r {\displaystyle r} je celé číslo nebo nula, je polynomiální funkce s nejvýše jedním nenulovým koeficientem.
Definiční obor Definiční obor závisí na exponentu r {\displaystyle r} , konkrétně na jeho celočíselnosti (tj. zda r ∈ Z {\displaystyle r\in \mathbb {Z} } ) a znaménku podle následující tabulky.
r > 0 {\displaystyle r>0} r < 0 {\displaystyle r<0} r = 0 {\displaystyle r=0} r ∈ Z {\displaystyle r\in \mathbb {Z} } R {\displaystyle \mathbb {R} } R ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}} R ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}} nebo R {\displaystyle \mathbb {R} } [ pozn. 1] r ∉ Z {\displaystyle r\notin \mathbb {Z} } R 0 + {\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}} R + {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} —
↑ Obecně není výraz 00 definován. V případě mocninné funkce je však smysluplné jej dodefinovat vztahem 00 = 1, díky čemuž při r = 0 {\displaystyle r=0} se mocninná funkce zredukuje na konstantu f ( x ) = a {\displaystyle f(x)=a} s definičním oborem R {\displaystyle \mathbb {R} } .
Obor hodnot Obor hodnot závisí na konstantě a {\displaystyle a} a exponentu r {\displaystyle r} .
r > 0 {\displaystyle r>0} r < 0 {\displaystyle r<0} r = 0 {\displaystyle r=0} r {\displaystyle r} sudé nebo ∉ Z {\displaystyle \notin \mathbb {Z} } r {\displaystyle r} liché r {\displaystyle r} sudé nebo ∉ Z {\displaystyle \notin \mathbb {Z} } r {\displaystyle r} liché a > 0 {\displaystyle a>0} R 0 + {\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}} R {\displaystyle \mathbb {R} } R + {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} R ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}} { a } {\displaystyle \{a\}} a < 0 {\displaystyle a<0} R 0 − {\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{-}} R {\displaystyle \mathbb {R} } R − {\displaystyle \mathbb {R} ^{-}} R ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}} a = 0 {\displaystyle a=0} { 0 } {\displaystyle \{0\}}
Externí odkazy Obrázky, zvuky či videa k tématu mocninná funkce na Wikimedia Commons