Mayerův vztah popisuje souvislost mezi molárními tepelnými kapacitami při konstantním tlaku a při konstantním objemu, platný přesně pro ideální plyn. Je pojmenován po svém objeviteli, německém fyzikovi Juliu von Mayerovi.
Pro ideální plyn nabývá známého tvaru:
c p = c V + R m , {\displaystyle c_{p}=c_{V}+R_{m},} kde:
R m {\displaystyle R_{m}} je molární plynová konstanta (zhruba 8,314 J·K−1 ·mol−1 ), c p {\displaystyle c_{p}} je měrná molární tepelná kapacita při stálém tlaku a c V {\displaystyle c_{V}} je měrná molární tepelná kapacita při stálém objemu. Pro obecný termodynamický systém jednotkového látkového množství platí:
C P − C V = V T α 2 β T , {\displaystyle C_{P}-C_{V}=VT{\frac {\alpha ^{2}}{\beta _{T}}},} kde:
α {\displaystyle \alpha } je teplotní roztažnost , β T {\displaystyle \beta _{T}} izotermická stlačitelnost a V , T {\displaystyle V,T} jsou objem a termodynamická teplota .
Odvození pro ideální plyn[ 1] C p − C V = ( ∂ H ∂ T ) p − ( ∂ U ∂ T ) V = ( ∂ ( U + p V ) ∂ T ) p − ( ∂ U ∂ T ) V = ( ∂ U ∂ T ) p + p ( ∂ V ∂ T ) p − ( ∂ U ∂ T ) V {\displaystyle C_{p}-C_{V}=\left({\frac {\partial H}{\partial T}}\right)_{p}-\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}=\left({\frac {\partial (U+pV)}{\partial T}}\right)_{p}-\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{p}+p\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}-\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}}
Entalpie H {\displaystyle H} je definována vztahem
H = U + p V {\displaystyle H=U+pV}
kde U {\displaystyle U} je vnitřní energie soustavy, p {\displaystyle p} je její tlak a V {\displaystyle V} objem.
Vnitřní energie je funkcí teploty a objemu, tudíž ( ∂ U ∂ T ) p {\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{p}} je nutno přepsat jako ( ∂ U ( T , V ( p , T ) ) ∂ T ) p {\displaystyle \left({\frac {\partial U(T,V(p,T))}{\partial T}}\right)_{p}}
( ∂ U ( T , V ( p , T ) ) ∂ T ) p = ( ∂ U ∂ T ) V + ( ∂ U ∂ V ) T ( ∂ V ∂ T ) p {\displaystyle \left({\frac {\partial U(T,V(p,T))}{\partial T}}\right)_{p}=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}+\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}}
Po dosazení do odvození dostaneme
C p − C V = p ( ∂ V ∂ T ) p + ( ∂ V ∂ T ) p ( ∂ U ∂ V ) T = ( ∂ V ∂ T ) p [ p + ( ∂ U ∂ V ) T ] {\displaystyle C_{p}-C_{V}=p\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}+\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}\left[p+\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}\right]}
Z diferenciálu definice vnitřní energie a Maxwellových relací dostaneme
( ∂ U ∂ V ) T = T ( ∂ S ∂ V ) p − p = T ( ∂ p ∂ T ) V − p {\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{p}-p=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p}
Dalším dosazením do odvození se výraz změní na
C p − C V = T ( ∂ V ∂ T ) p ( ∂ p ∂ T ) V {\displaystyle C_{p}-C_{V}=T\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}}
Ze vzorce derivace implicitní funkce
( ∂ V ∂ T ) p ( ∂ T ∂ p ) V ( ∂ p ∂ V ) T = − 1 {\displaystyle \left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}\left({\frac {\partial T}{\partial p}}\right)_{V}\left({\frac {\partial p}{\partial V}}\right)_{T}=-1}
vyjádříme
( ∂ V ∂ T ) p = − ( ∂ p ∂ T ) V ( ∂ p ∂ V ) T {\displaystyle \left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}=-{\frac {\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}}{\left({\frac {\partial p}{\partial V}}\right)_{T}}}}
Opět dosadíme
C p − C V = − T ( ∂ p ∂ T ) V 2 ( ∂ p ∂ V ) T {\displaystyle C_{p}-C_{V}=-T{\frac {\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}^{2}}{\left({\frac {\partial p}{\partial V}}\right)_{T}}}}
Ze stavové rovnice ideálního plynu
p V = n R T {\displaystyle pV=nRT}
vyjádříme
p = n R T V {\displaystyle p={\frac {nRT}{V}}}
a
( ∂ p ∂ T ) V = n R V ; ( ∂ p ∂ V ) T = − n R T V 2 {\displaystyle \left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}={\frac {nR}{V}};\left({\frac {\partial p}{\partial V}}\right)_{T}=-{\frac {nRT}{V^{2}}}}
Znovudosazením do odvození
C p − C V = − T ( n 2 R 2 V 2 ) ( − n R T V 2 ) {\displaystyle C_{p}-C_{V}=-T{\frac {\left({\frac {n^{2}R^{2}}{V^{2}}}\right)}{\left(-{\frac {nRT}{V^{2}}}\right)}}}
dostaneme výsledný Mayerův vztah
C p − C V = n R {\displaystyle C_{p}-C_{V}=nR}
c p n − c V n = n R {\displaystyle c_{p}n-c_{V}n=nR}
c p − c V = R {\displaystyle c_{p}-c_{V}=R}
Reference ↑ NOVÁK, Josef. Prof. Ing. . Praha: Vydavatelství VŠCHT, 1999. 229 s. ISBN 80-7080-360-6 . S. 109–110.
Související články Pahýl Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.
Portály: Fyzika