Jacobiho matice je reálná symetrická třídiagonální matice s kladnými prvky na horní a dolní sekundární diagonále.
Definice
Reálnou čtvercovou matici řádu
ve tvaru
![{\displaystyle {\boldsymbol {J}}={\begin{pmatrix}\alpha _{1}&\beta _{2}&&&\\\beta _{2}&\alpha _{2}&\beta _{3}&&\\&\beta _{3}&\ddots &\ddots &\\&&\ddots &\ddots &\beta _{k}\\&&&\beta _{k}&\alpha _{k}\end{pmatrix}},\qquad \beta _{i}>0,\quad i=2,\ldots ,k,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98a730706152b81d8406f945468f6e1775f63fcc)
nazýváme Jacobiho maticí. Speciálním (triviálním) případem je Jacobiho matice
,
. Jacobiho matice mají řadu specifických vlastností.
Spektrální vlastnosti
Vlastní čísla
Vlastní čísla Jacobiho matic mají násobnost jedna. Stačí si uvědomit, že pro libovolné číslo
jsou druhý až poslední řádek v matici
lineárně nezávislé:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}\beta _{2}&\alpha _{2}-\lambda &\beta _{3}&&\\&\beta _{3}&\ddots &\ddots &\\&&\ddots &\ddots &\beta _{k}\\&&&\beta _{k}&\alpha _{k}-\lambda \end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e84a20696650f9c77d7ddd6425eb2c1c7cb72e9c)
Odtud plyne, že
. Protože matice je symetrická, odpovídá její hodnost počtu nenulových vlastních čísel (včetně násobností). Každé vlastní číslo
má tudíž násobnost jedna.
Protože matice je symetrická, vlastní čísla jsou navíc reálná a můžeme je seřadit
![{\displaystyle \lambda _{1}({\boldsymbol {J}})<\lambda _{2}({\boldsymbol {J}})<\cdots <\lambda _{k}({\boldsymbol {J}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d8f5cb4cfc4b4f03a8f7a3b8757d97d56135483)
Označíme-li
vedoucí hlavní podmatici matice
řádu
, neboli
,
pak
je také Jacobiho matice. Vlastní čísla těchto dvou „po sobě jdoucích“ Jacobiho matic
a
se striktně prokládají
.
Charakteristické polynomy dvou po sobě jdoucích Jacobiho matic nemají žádný společný kořen. To lze dokázat sporem; rozvojem determinantu
podle posledního řádku a indukcí podle rozměru matice.
Mimo jiné také platí, že Jacobiho matice
a
nemohou být obě singulární.
Vlastní vektory
Jsou-li
vlastní číslo a jemu příslušný vlastní vektor Jacobiho matice
, kde
![{\displaystyle {\boldsymbol {v}}=(v_{1},v_{2},v_{3},\ldots ,v_{k})^{\mathrm {T} },\qquad \|{\boldsymbol {v}}\|\neq 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b6c1a6b49623836cb7046db1b98b20a05a5e323)
pak
- první prvek vlastního vektoru je nenulový,
, - poslední prvek vlastního vektoru je nenulový,
, - libovolný dvouprvkový podvektor
,
, je nenulový.
Všechna tři tvrzení lze dokázat sporem, prostým porovnáním prvků vektorů na obou stranách rovnosti
.
Z předpokladu
a porovnání prvních prvků
![{\displaystyle \alpha _{1}v_{1}+\beta _{2}v_{2}=v_{1}\lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5d0511963b35780eb797510fb393d93c37c7a19)
plyne
(neboť
). Indukcí pak vyplývá
, což je ve sporu s
.
Užití k výpočtu vlastních čísel symetrických a hermitovských matic
Pro každou reálnou symetrickou matici
,
, existuje ortogonální matice
,
, taková, že
![{\displaystyle {\boldsymbol {GAG}}^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {J}}_{\oplus },\qquad {\text{kde}}\qquad {\boldsymbol {J}}_{\oplus }=\left({\begin{array}{cccc}{\boldsymbol {J}}_{1}\\&{\boldsymbol {J}}_{2}\\&&\ddots \\&&&{\boldsymbol {J}}_{s}\end{array}}\right),\quad {\boldsymbol {J}}_{\ell }\in \mathbb {R} ^{k_{\ell }\times k_{\ell }},\quad \sum _{\ell =1}^{s}k_{\ell }=k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a84f8e62d67ba61334c2826364f32a9629d972c)
a kde
jsou Jacobiho matice. Matici
lze přitom zkonstruovat v konečném čase, tj. pomocí konečného počtu elementárních aritmetických operací (sčítání, odečítání, násobení, dělení a výpočtu druhé odmocniny).
Obdobně pro každou hermitovskou matici
,
, existuje unitární matice
,
taková, že
![{\displaystyle {\boldsymbol {GAG}}^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {J}}_{\oplus }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22d5418948eb11908003faa375a731928b9af11e)
je stejná matice jako v předchozím případě. Speciálně je matice
reálná symetrická i v případě komplexní hermitovské matice
.
Vlastnosti matice
Matice
je stále třídiagonální, obecně však už není Jacobiho maticí, protože prvky bezprostředně nad diagonálou nebo bezprostředně pod ní mohou být nulové. Transformační matici
lze vždy zvolit tak, že
,
kde
značí spektrum matice
. Jacobiho matice
obsahuje všechna vlastní čísla původní matice
, přičemž každé jen jednou, jak plyne z vlastností Jacobiho matic. Číslo
je dimenzí největšího vlastního podprostoru (eigenspace), tj.
je největší násobností některého z vlastních čísel matice
.
Konstrukce matice
v konečném čase
Význam Jacobiho matic spočívá v možnosti spočítat ortogonální, resp. unitární matice
v konečném čase. Přestože je diagonalizovatelnost matice
vždy zaručena, protože symetrické, resp. hermitovské matice jsou normální a proto ortogonálně, resp. unitárně diagonalizovatelné, tato diagonalizace však obecně není proveditelná v konečném čase. Např. už jen z toho důvodu, že vlastní čísla coby kořeny charakteristického polynomu nemusí být možné vyjádřit v radikálech pro polynomy stupně alespoň 5 (viz též základní věta algebry).
Význam třídiagonalizace lze spatřovat v provedení dílčího výpočtu při hledání vlastních čísel symetrické, resp. hermitovské matice
![{\displaystyle {\boldsymbol {A}}\;\longmapsto \;{\boldsymbol {J}}_{\oplus }\;\longmapsto \;{\boldsymbol {D}}=\mathrm {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd73b521cdce50b61ba115707db85148e4e571b7)
který lze provést v přesné aritmetice v konečném čase. Následná diagonalizace třídiagonální matice
však obecně vyžaduje iterační algoritmus s limitní konvergencí, typicky některou z variant QR algoritmu.
Matice
a
lze zkonstruovat např. pomocí dobře známého Lanczosova algoritmu (Lanczosovy tridiagonalizace).
Souvislosti
Jacobiho matice hrají klíčovou v řadě teoretických i praktických aplikací[1][2][3][4][5]
Reference
- ↑ W. Gautschi: Orthogonal Polynomials: Computation and Approximation, Oxford University Press, New York, 2004.
- ↑ G. H. Golub, G. Meurant: Matrices, Moments and Quadrature with Appliations, Princeton University Press, 2010.
- ↑ N. B. Parlett: The Symmetric Eigenvalue Problem, Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, 1980.
- ↑ Z. Strakoš, J. Liesen: Krylov Subspace Methods: Principles and Analysis, Oxford University Press, Oxford, 2012.
- ↑ G. Teschl: "Jacobi Operators and Completely Integrable Nonlinear Lattices", Amer. Math. Soc., Providence, 2000. ISBN 0-8218-1940-2
Literatura
- DUINTJER TEBBENS, Erik Jurjen; HNĚTYNKOVÁ, Iveta; PLEŠINGER, Martin; STRAKOŠ, Zdeněk; TICHÝ, Petr. Analýza metod pro maticové výpočty: Základní metody. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2012. xvi+308 s. ISBN 978-80-7378-201-6.