Buckinghamův π teorém
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a9/Edgar_Buckingham_by_Pach_Brothers_c1886.jpg/220px-Edgar_Buckingham_by_Pach_Brothers_c1886.jpg)
Buckinghamův teorém je v inženýrství, aplikované matematice a fyzice důležitým nástrojem pro rozměrovou analýzu. Zjednodušeně řečeno teorém tvrdí, že počet proměnných ve fyzikálně smysluplné rovnici je možno redukovat v závislosti na tom, kolik fyzikálních veličin v této rovnici vystupuje pomocí kolika fyzikálních jednotek jsou tyto veličiny vyjádřeny. Po redukci je rovnice vyjádřena pomocí bezrozměrných veličin označovaných , , atd., což dalo tomuto tvrzení název.
Věta poskytuje metodu pro výpočet množin bezrozměrných parametrů z daných proměnných neboli nondimenzionizaci, i když tvar rovnice je stále neznámý.
Buckinghamův teorém naznačuje, že platnost fyzikálních zákonů nezávisí na konkrétní jednotkové soustavě. Tvrzení této věty je možno interpretovat tak, že jakýkoli fyzikální zákon lze vyjádřit jako identitu zahrnující pouze bezrozměrné kombinace (poměry nebo součiny) proměnných propojených zákonem (například tlak a objem daného množství ideálního plynu jsou při stálé teplotě spojeny Boyleovým a Mariottovým zákonem – jsou nepřímo úměrné).
Tvrzení
Pokud máme rovnici vyjadřující fyzikální zákon ve tvarukde je nezávislých fyzikálních veličin, které jsou vyjádřeny v nezávislých fyzikálních jednotkách, pak lze výše uvedenou rovnici přepsat do tvarukde jsou pro bezrozměrné parametry konstruované z veličin vztahemkde exponenty jsou racionální čísla.
Význam
Buckinghamův teorém poskytuje metodu pro výpočet souborů bezrozměrných parametrů z daných proměnných, i když tvar rovnice není znám. Volba bezrozměrných parametrů není jednoznačná. Buckinghamův teorém poskytuje pouze metodu hledání bezrozměrných parametrů a nedokáže odlišit "fyzikálně smysluplné" sady bezrozměrných parametrů od ostatních.
Buckingramův teorém je silný nástroj zejména v případě, že hodnoty a jsou srovnatelné.[1]
Matematické kyvadlo
Chceme určit periodu malých kmitů matematického kyvadla o délce hmotnosti hmotného bodu na konci kyvadla a gravitačního zrychlení . První tři veličiny mají nezávislé jednotky, gravitační zrychlení má jednotku složenou z jednotky délky a jednotky času. Souvislost veličin je tvaruProtože se počet jednotek a veličin liší o jedničku, je možné tuto zákonitost zapsat použitím jediného bezrozměrného parametru ve tvarukde dáno vztahempro vhodné hodnoty Jednotka hmotnosti se vzorci vyskytuje jenom jednou ve veličině a proto musí být . Jednotka délky je v první mocnině ve veličinách a a aby veličina nezávisela na jednotce délky, musí se jednotka délky vykrátit, tj. . Jednotka času je v první mocnině v periodě a v minus druhé mocnině ve zrychlení . Aby veličina nezávisela na jednotce času, musí se jednotka času vykrátit, tj. . Z toho vyplývá, že bezrozměrnou konstantu lze po volbě zapsat ve tvaru(Obecně je nutno řešit složitější soustavu lineárních rovnic.) Model lze nyní vyjádřit rovnicíZa předpokladu, že má izolované kořeny to znamená, že pro nějaký kořen funkce Pokud je pouze jeden nulový bod platí a . Hodnotu konstanty nelze rozměrovou analýzou určit, stačí však jeden jediný pokus - měření periody, které správnou hodnotu číselné konstanty určí. V tomto případě je , což dává známý vzorec .
Odkazy
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Buckingham_π_theorem na anglické Wikipedii.