Bernoulliho nerovnost

Bernoulliho nerovnost je využívána při dokazování složitějších matematických vět. Samotná nerovnost má tvar

${\displaystyle (1+x)^{n}\geq 1+nx\,;\quad n\in \mathbb {N} ,x\in [-1;+\infty )}$

Důkaz Bernoulliho nerovnosti vyžaduje základy dokazování matematickou indukcí. V prvním kroku se ověří platnost pro první přirozené číslo ${\displaystyle n=1}$. Dostaneme ${\displaystyle 1+x=1+x}$, což je zřejmá pravda. Indukční předpoklad je tedy platnost

${\displaystyle (\,{\text{i}}\,)\qquad (1+x)^{k}\geq 1+kx}$

Po splnění výše uvedených podmínek. Ve druhém kroku se snažíme z pravdivosti (i) odvodit platnost

${\displaystyle (\,{\text{ii}}\,)\qquad (1+x)^{k+1}\geq 1+(k+1)x}$

Tvar nerovnosti (ii) lze přepsat na tvar

${\displaystyle (1+x)^{k}\geq {\frac {1+kx+x}{1+x}}}$

Nyní je třeba dokázat, že platí

${\displaystyle 1+kx\geq {\frac {1+kx+x}{1+x}}}$

Po úpravě dospějeme ke tvaru ${\displaystyle kx^{2}\geq 0}$ z něhož lze vypozorovat, že původní nerovnost platí.

Příkladem může být důkaz o existenci limity posloupnosti

${\displaystyle \left\{\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$

Přičemž je třeba dokázat omezenost a monotónnost této posloupnosti.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Bernoulliho nerovnosť na slovenské Wikipedii.

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Bernoulliho nerovnost na Wikimedia Commons