Topologia cofinita

En matemàtiques, la topologia dels complementaris finits o topologia cofinita sobre un conjunt ${\displaystyle X}$ és la topologia definida per

${\displaystyle {\mathcal {T}}_{cof}=\{A\subseteq X:X\setminus A{\text{ és finit ó }}A=\emptyset \}}$

És a dir, un subconjunt ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle X}$ és obert si el seu complementari és un conjunt finit.

Algunes propietats de la topologia cofinita sobre un conjunt ${\displaystyle X}$:^[1]

• Si ${\displaystyle X}$ és finit, la topologia cofinita és la topologia discreta. En aquest cas, un subconjunt ${\displaystyle A\subseteq X}$ és obert si, i només si, és tancat.
• La topologia cofinita sobre ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ és menys fina que la topologia estàndard.
• Un subconjunt ${\displaystyle A\subseteq X}$ és tancat si, i només si, ${\displaystyle A=X}$, ${\displaystyle A=\emptyset }$ ó ${\displaystyle A}$ és finit.
• Si ${\displaystyle x\in U\subseteq X}$, llavors ${\displaystyle U}$ és un entorn de ${\displaystyle x}$ si, i només si, ${\displaystyle X\setminus U}$ és finit.
• Tot espai ${\displaystyle X}$ amb la topologia cofinita és T₁ i, per tant, T₀.
• Si ${\displaystyle X}$ és infinit, llavors no és de Hausdorff. Com a conseqüència, tampoc és T₃.
• Tot espai ${\displaystyle X}$ amb la topologia cofinita és compacte i, per tant, també és de Lindelöf.

• Espai de Hausdorff

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr.. Counterexamples in Topology. Dover reimpressió de 1978. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1978. ISBN 978-0-486-68735-3.