Subsuccessió

En matemàtiques, una subsuccessió o successió parcial és una successió formada per infinits termes d'una successió. És a dir, una subsuccessió { a n k } n k {\displaystyle \{a_{n_{k}}\}_{n_{k}}} de la successió { a n } n {\displaystyle \{a_{n}\}_{n}} compleix { a n k } n k ⊂ { a n } n {\displaystyle \{a_{n_{k}}\}_{n_{k}}\subset \{a_{n}\}_{n}} .

Definició formal

Siguin { a n } n ∈ N {\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} una successió i N 0 ⊆ N {\displaystyle N_{0}\subseteq \mathbb {N} } un subconjunt dels naturals amb cardinalitat infinita, aleshores, { a n k } n k ∈ N 0 {\displaystyle \{a_{n_{k}}\}_{n_{k}\in \mathbb {N_{0}} }} és una subsuccessió de { a n } n ∈ N {\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} .

Exemple

Donada una successió { a n } n ∈ N {\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} ,

  • Els termes de { a n } n ∈ N {\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} que ocupen una posició parella conformen una subsuccessió:

{ a n k := a 2 ⋅ n } n k {\displaystyle \{a_{n_{k}}:=a_{2\cdot n}\}_{n_{k}}}

  • Els termes de { a n } n ∈ N {\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} que ocupen una posició senar conformen una altra subsuccessió:

{ a n p := a 2 ⋅ n + 1 } n p {\displaystyle \{a_{n_{p}}:=a_{2\cdot n+1}\}_{n_{p}}}

Per exemple, la successió dels nombres parells és a n = 2 ⋅ n {\displaystyle a_{n}=2\cdot n} (és a dir, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20...). Les següents successions són subsuccessions d'aquesta:

  • b k = a 2 ⋅ k {\displaystyle b_{k}=a_{2\cdot k}} (4, 8, 12, 16...)
  • c k = a 2 ⋅ k + 1 {\displaystyle c_{k}=a_{2\cdot k+1}} (2, 6, 10, 14...)
  • d k = 2 k {\displaystyle d_{k}=2^{k}} (2, 4, 8, 16, 32...)

La següent successió no és subsuccessió de { 2 ⋅ n } n ∈ N {\displaystyle \{2\cdot n\}_{n\in \mathbb {N} }} :

  • e k = 2 {\displaystyle e_{k}=2} (2, 2, 2, 2, 2...)

Propietats

Com que una subsuccessió és, en particular, una successió, mantenen les propietats d'aquestes. Els resultats més rellevants que involucren subsuccessions són els següents:[1]

  • Si una successió és convergent a L ∈ R {\displaystyle L\in \mathbb {R} } , aleshores totes les seves successions convergeixen també a L {\displaystyle L} .
  • Si una successió és fitada, aleshores totes les seves successions també ho són.
  • Si una successió { a n } n ∈ N {\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} té dues subsuccessions que convergeixen a límits distints, aleshores { a n } n ∈ N {\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} no convergeix.
  • Tota successió de reals fitada conté alguna subsuccessió convergent (Teorema de Bolzano-Weierstrass).

Referències

  1. ↑ Llopis, José L. «Subsucesiones» (en castellà). [Consulta: 14 maig 2019].

Bibliografia

  • D'Angelo, J. P. and West, D. B. Mathematical Thinking: Problem-Solving and Proofs, 2nd ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, pp. 277–279, 2000.

Vegeu també