Polinomis de Rogers

En matemàtiques, el Polinomis de Rogers, també anomenats polinomis de Rogers–Askey–Ismail i polinomis continus q-ultraesfèrics, són una família de polinomis ortogonals introduïts pel matemàtic Leonard James Rogers en el curs del seu treball sobre les Identitats de Rogers-Ramanujan. Són q-anàlegs dels polinomis ultraesfèrics, i corresponen als polinomis de Macdonald per al cas especial d'un sistema d'arrel afina A1.

Askey & Ismail (1983) i Gasper & Rahman (2004) han discutit les propietats dels polinomis de Rogers en detall.

Els polinomis de Rogers poden ser definits en termes del símbol q-Pochhammer i de la sèrie hipergeomètrica bàsica, comː

C n ( x ; β | q ) = ( β ; q ) n ( q ; q ) n e i n θ 2 ϕ 1 ( q − n , β ; β − 1 q 1 − n ; q , q β − 1 e − 2 i θ ) {\displaystyle C_{n}(x;\beta |q)={\frac {(\beta ;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}e^{in\theta }{}_{2}\phi _{1}(q^{-n},\beta ;\beta ^{-1}q^{1-n};q,q\beta ^{-1}e^{-2i\theta })}

On x = cos(θ).

Referències

  • Askey, Richard; Ismail, Mourad E. H.. «A generalization of ultraspherical polynomials». A: Paul Erdős. Studies in pure mathematics. To the memory of Paul Turán.. Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, 1983. ISBN 978-3-7643-1288-6. 
  • Gasper, George; Rahman, Mizan. Basic hypergeometric series. 2nd. Cambridge University Press, 2004. DOI 10.2277/0521833574. ISBN 978-0-521-83357-8. 
  • Macdonald, I. G.. Affine Hecke algebras and orthogonal polynomials. Cambridge University Press, 2003. DOI 10.1017/CBO9780511542824. ISBN 978-0-521-82472-9. 
  • Rogers, L. J. «On the expansion of some infinite products». Proc. London Math. Soc., 1892, p. 337–352. DOI: 10.1112/plms/s1-24.1.337.
  • Rogers, L. J. «Second Memoir on the Expansion of certain Infinite Products». Proc. London Math. Soc., 1893, p. 318–343. DOI: 10.1112/plms/s1-25.1.318.
  • Rogers, L. J. «Third Memoir on the Expansion of certain Infinite Products». Proc. London Math. Soc., 1894, p. 15–32. DOI: 10.1112/plms/s1-26.1.15.