En teoria de control, la matriu de transició d'estat és una matriu que, multiplicada pel vector d'estat
en un temps inicial
dona
en un temps posterior
. Es pot utilitzar la matriu de transició d'estat per obtenir la solució general de sistemes dinàmics lineals.
Solució de sistemes lineals
S'utilitza la matriu de transició d'estat per trobar la solució de la representació en espai d'estats d'un sistema lineal de la forma
,
on
són els estats del sistema,
és la senyal d'entrada,
i
són funcions matricials, i
és la condició inicial a
. Utilitzant la matriu de transició d'estat
, la solució ve donada per:[1][2]
![{\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,t_{0})\mathbf {x} (t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {B} (\tau )\mathbf {u} (\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f9bd2c269c15d814272c465b1f202e9750e8f35)
El primer terme rep el nom de resposta amb entrada zero (zero-input response, en anglès) i representa com l'estat del sistema evoluciona en l'absència d'entrada. El segon terme es coneix com resposta amb estat zero (zero-state response, en anglès) i defineix com les entrades afecten en el sistema.
Sèrie de Peano–Baker
La matriu de transició més general ve donada per les sèries de Peano–Baker
![{\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )=\mathbf {I} +\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\,d\sigma _{1}+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\int _{\tau }^{\sigma _{2}}\mathbf {A} (\sigma _{3})\,d\sigma _{3}\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}+...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b93bde999bf698b2ce6a32857aed765eed590ca5)
on
és la matriu identitat. Aquesta matriu convergeix uniformement i absoluta a una solució que existeix i que és única.[2]
Altres propietats
La matriu de transició d'estat
satisfà les següents relacions:
1. És contínua i té derivades contínues.
2, Mai no és singular; de fet
i
, on
és la matriu identitat.
3.
per tot
.[3]
4.
per tot
.
5. Satisfà l'equació diferencial
amb condicions inicials
.
6. La matriu de transició d'estat
, donada per
![{\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )\equiv \mathbf {U} (t)\mathbf {U} ^{-1}(\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6379eb52a9a931c2299751230680d591470f9a41)
on la matriu, de dimensions
,
és la matriu fonamental que satisfà
amb condició inicial
.
7. Donat l'estat
en qualsevol temps
, l'estat en qualsevol altre temps
ve donat per la funció
![{\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {x} (\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e0225879caf77779a0a4134bcae6faab5787ab7)
Estimació de la matriu de transiió d'estat
En el cas invariant temporal, es pot definir
, utilitzant l'exponencial d'una matriu, com
.[4]
En el cas variant temporal, la matriu de transició d'estat
pot ser estimada a partir de les solucions de l'equació diferencial
amb condicions inicials
donades per
,
, ...,
. Les solucions corresponents proporcionen les
columnes de la matriu
. Aquí, a partir de la propietat 4,
per tot
. S'ha de determinar la matriu de transició d'estat abans que pugui continuar l'anàlisi de la solució variant temporal.
Referències
- ↑ Baake, Michael; Schlaegel, Ulrike «The Peano Baker Series». Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, vol. 275, 2011, pàg. 155–159. DOI: 10.1134/S0081543811080098.
- ↑ 2,0 2,1 Rugh, Wilson. Linear System Theory. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1996. ISBN 0-13-441205-2.
- ↑ Brockett, Roger W. Finite Dimensional Linear Systems. John Wiley & Sons, 1970. ISBN 978-0-471-10585-5.
- ↑ Reyneke, Pieter V. «Polynomial Filtering: To any degree on irregularly sampled data». Automatika, vol. 53, 4, 2012, pàg. 382–397. DOI: 10.7305/automatika.53-4.248.
Bibliografia complementària
- Baake, M. «The Peano Baker Series». Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, vol. 275, 2011, pàg. 155–159. DOI: 10.1134/S0081543811080098.
- Brogan, W.L.. Modern Control Theory. Prentice Hall, 1991. ISBN 0-13-589763-7.