Magma unitari

Aquest article o secció no cita les fonts o necessita més referències per a la seva verificabilitat.

En matemàtiques, un magma unitari consisteix en un conjunt dotat d'una llei de composició interna i un element neutre.

Sigui E un conjunt amb els elements següents: ${\displaystyle E=\{a,b,c\}}$. Dins d'aquest conjunt es defineix una operació binària denotada com ${\displaystyle \otimes }$. El resultat d'operar entre ells els elements del conjunt amb ${\displaystyle \otimes }$ es recullen a la taula següent:

${\displaystyle \otimes }$	a	b	c
a	b	b	a
b	a	a	b
c	a	b	c

On la primera fila representa l'operand per l'esquerra i la primera columna representa l'operand per la dreta.

L'operació ${\displaystyle \otimes }$ forma un magma unitari en E:

Tots els elements d'arribada són també elements en E.

L'element neutre ${\displaystyle e}$ en E és aquell element el qual verifica la igualtat següent per a qualsevol element ${\displaystyle n}$ del conjunt: ${\displaystyle e\otimes n=n\otimes e=n}$. Comprovant la taula, es pot apreciar que ${\displaystyle c}$ és l'element neutre del conjunt.

L'invers per un element ${\displaystyle n}$ concret en el conjunt és aquell element ${\displaystyle i}$, també en el conjunt, tal que ${\displaystyle i\otimes n=n\otimes i=c}$, ja que ${\displaystyle c}$ és l'element neutre del conjunt. Es pot provar que no tots els elements del conjunt tenen un invers amb el següent contraexemple:

${\displaystyle a\otimes i=c}$

Degut al fet que no hi ha cap element ${\displaystyle i}$ en E que satisfaci l'equació.

L'associativitat es compleix si, per a tres elements m, n i s qualssevol al conjunt, es verifica que ${\displaystyle (m\otimes n)\otimes s=m\otimes (n\otimes s)}$. L'operació () no és associativa al conjunt, la qual cosa es pot comprovar amb l'exemple següent:

${\displaystyle (a\otimes a)\otimes b=a\otimes (a\otimes b)}$

Al costat esquerre es té que ${\displaystyle a\otimes a=b}$ i després que ${\displaystyle b\otimes b=a}$. Al costat dret, en canvi, es té que ${\displaystyle a\otimes b=a}$ i després que ${\displaystyle a\otimes a=b}$. Per tant, l'operació no és associativa en el conjunt.

Per tal que la divisió sempre sigui possible, s'ha de verificar que per a qualsevol n i m del conjunt, existeixin un divisor per l'esquerra y i un divisor per la dreta z tals que ${\displaystyle y\otimes n=n\otimes z=m}$. Per provar que la divisió no sempre és possible en E, es pot prendre l'exemple emprat anteriorment: ${\displaystyle a\otimes i=c}$, on no existeix cap divisor que satisfaci l'equació.