Espai cotangent

En geometria diferencial, l'espai cotangent és un espai vectorial associat a un punt ${\displaystyle x}$ en una varietat llisa (o diferenciable) ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$; es pot definir un espai cotangent per a cada punt d'una varietat llisa. Normalment, l'espai cotangent, ${\displaystyle T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}}$ es defineix com l'espai dual de l'espai tangent a ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle T_{x}{\mathcal {M}}}$, tot i que hi ha definicions més directes (vegeu més avall). Els elements de l'espai cotangent s'anomenen vectors cotangents o covectors tangents.^[1]

Tots els espais cotangents en punts d'una varietat connectada tenen la mateixa dimensió, igual a la dimensió de la varietat. Tots els espais cotangents d'una varietat es poden "enganxar" (és a dir, unir-se i dotar-se d'una topologia) per formar una nova varietat diferenciable de dues vegades la dimensió, el paquet cotangent de la varietat.^[2]

L'espai tangent i l'espai cotangent en un punt són espais vectorials reals de la mateixa dimensió i, per tant, isomòrfics entre si mitjançant molts isomorfismes possibles. La introducció d'una mètrica riemanniana o d'una forma simplèctica dóna lloc a un isomorfisme natural entre l'espai tangent i l'espai cotangent en un punt, associant a qualsevol covector tangent un vector tangent canònic.^[3]

Deixa ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ser una varietat llisa i deixar ${\displaystyle x}$ ser un punt ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$. Deixa ${\displaystyle T_{x}{\mathcal {M}}}$ sigui l'espai tangent a ${\displaystyle x}$. Aleshores l'espai cotangent a x es defineix com l'espai dual de ${\displaystyle T_{x}{\mathcal {M}}}$:

${\displaystyle T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}=(T_{x}{\mathcal {M}})^{*}}$

Concretament, els elements de l'espai cotangent són funcionals lineals ${\displaystyle T_{x}{\mathcal {M}}}$. És a dir, cada element ${\displaystyle \alpha \in T_{x}^{*}{\mathcal {M}}}$ és un mapa lineal

${\displaystyle \alpha :T_{x}{\mathcal {M}}\to F}$

on ${\displaystyle F}$ és el cos subjacent de l'espai vectorial que es considera, per exemple, el cos dels nombres reals. Els elements de ${\displaystyle T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}}$ s'anomenen vectors cotangents.^[4]

En alguns casos, es podria agradar tenir una definició directa de l'espai cotangent sense fer referència a l'espai tangent. Aquesta definició es pot formular en termes de classes d'equivalència de funcions suaus ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$. De manera informal, direm que dues funcions suaus f i g són equivalents en un punt ${\displaystyle x}$ si tenen el mateix comportament de primer ordre a prop ${\displaystyle x}$, anàloga als seus polinomis lineals de Taylor; dues funcions f i g tenen el mateix comportament de primer ordre a prop ${\displaystyle x}$ si i només si la derivada de la funció f − g s'esvaeix a ${\displaystyle x}$. L'espai cotangent consistirà llavors en tots els possibles comportaments de primer ordre d'una funció propera ${\displaystyle x}$.