![Infotaula distribució de probabilitat](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Probstats2.svg/22px-Probstats2.svg.png)
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/74/F-distribution_pdf.svg/325px-F-distribution_pdf.svg.png) |
Funció de distribució de probabilitat ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8e/F_dist_cdf.svg/325px-F_dist_cdf.svg.png) |
Tipus | Distribució F no central ![Modifica el valor a Wikidata](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/Arbcom_ru_editing.svg/10px-Arbcom_ru_editing.svg.png) |
---|
Epònim | Ronald Aylmer Fisher i George Snedecor ![Modifica el valor a Wikidata](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/Arbcom_ru_editing.svg/10px-Arbcom_ru_editing.svg.png) |
---|
Paràmetres | d1, d₂ > 0 graus de llibertat |
---|
Suport | ![{\displaystyle x\in (0,+\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a84264a320783309b0360b749207851a58f148a) |
---|
fdp | x>0 |
---|
FD | ![{\displaystyle I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right),\quad x\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb9503e4f634afea7191d96536c75e7af230dcf0) |
---|
Esperança matemàtica | , per d₂ > 2 |
---|
Moda | , per d1 > 2 |
---|
Variància | per d₂ > 4 |
---|
Coeficient de simetria | d₂ > 6 |
---|
FGM | No existeix |
---|
EOM | Fisher-F-distribution ![Modifica el valor a Wikidata](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/Arbcom_ru_editing.svg/10px-Arbcom_ru_editing.svg.png) |
---|
Mathworld | SnedecorsF-Distribution ![Modifica el valor a Wikidata](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/Arbcom_ru_editing.svg/10px-Arbcom_ru_editing.svg.png) |
---|
En Teoria de probabilitat i Estadística, la distribució F és la distribució de probabilitat definida del quocient de dues variables aleatòries independents amb distribucions khi quadrat, cadascuna dividida pel seu nombre de graus de llibertat. També se la coneix com a distribució F de Snedecor (per George Snedecor) o com a distribució F de Fisher-Snedecor. És fonamental en molts contrasts d'hipòtesis, especialment en els de l'Anàlisi de la variància. La referència bàsica d'aquesta pàgina és Johnson et al.[1]
Definició, funció de densitat i funció de distribució
Sigui
i
, independents, amb
i
. La variable aleatòria
es diu que segueix una distribució
amb
i
graus de llibertat.. S'escriu
.
La seva funció de densitat és
on
és la funció beta.
La funció de distribució per a
es pot escriure
on
és una funció beta incompleta regularitzada. Per a
,
.
Comentari sobre els graus de llibertat. El cas més habitual d'una distribució
és quan el nombre
de graus de llibertat és un nombre natural i llavors es pot interpretar com la suma dels quadrats de
variables aleatòries normals estàndard independents. Però mitjançant la funció de densitat es pot definir una distribució
que tingui com a graus de llibertat qualsevol nombre real estrictament positiu
, nombre que continua anomenat-se els graus de llibertat de la distribució.[2] En conseqüència, pot definir-se la distribució
amb graus de llibertat qualsevol nombres
.
Càlcul de la funció de densitat
Comencem buscant la funció de densitat de
![{\displaystyle G={\frac {S_{1}}{S_{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bd447ea8582c629499c6fd07e64c57fbed3141f)
Amb aquest objectiu, considerarem el canvi
![{\displaystyle (S_{1},S_{2})\mapsto (G,S_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a275f70c64692ad6ac4115104a0c576b7e16ac4)
i després buscarem la marginal de
![{\displaystyle G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
. Per la independència de
![{\displaystyle S_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bf84e7fd4fb8259a9b37f956afdf83ee2a020f9)
i
![{\displaystyle S_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1143e284d5f25cef778ab482edf6617a523ddd9f)
, la densitat conjunta del vector
![{\displaystyle (S_{1},S_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b814c6cc45b26e2a51d30b53b77f676ed710600)
és el producte de les densitats d'aquestes dues variables:
![{\displaystyle f_{(S_{1},S_{2})}(u,v)=Cu^{d_{1}/2-1}\,v^{d_{2}/2-1}e^{-(u+v)/2},\quad u>0,\,v>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b4e8c480123af6b80847a471231899e33386d28)
on
![{\displaystyle C={\frac {2^{-(d_{1}+d_{2})/2}}{\Gamma (d_{1}/2)\Gamma (d_{2}/2)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/927eb2a87d30a931b5e9571bbb539abfab4eb0d2)
Considerem l'aplicació
![{\displaystyle h:(0,\infty )^{2}\rightarrow (0,\infty )^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3306260ba3b111f343f360f0daeac2971f3aecf)
donada per
![{\displaystyle h(u,v)={\bigg (}{\frac {u}{v}},\,v{\bigg )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12f939cfe7cdb53d0076275802ccb889b2aff55d)
que és bijectiva. La inversa és
![{\displaystyle g=h^{-1}:(0,\infty )^{2}\rightarrow (0,\infty )^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e8f3a69bffe23550df9aad5bcc54b9e989bed34)
,
![{\displaystyle g(x,v)=(xv,v).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eec25c233d49abb2aa923757007fcf70307d6e40)
El determinant jacobià de
![{\displaystyle g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77)
és
![{\displaystyle J_{g}=v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fc358ef6a4f65427d10818a71b405de8d63b213)
. Llavors, la funció de densitat de
![{\displaystyle (G,S_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1097308f388b983e84b7da22d6a1d3716dc8bac3)
(vegeu l'apartat de funcions d'un vector aleatori amb densitat de la pàgina Vector aleatori) és
![{\displaystyle f_{(G,S_{1})}(x,v)=Cx^{d_{1}/2-1}v^{(d_{1}+d_{2})/2-1}e^{-v(1+x)/2},\quad x>0,\,v>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3f9721907a8b9e22831904416196134a89b058c)
Per tant,
![{\displaystyle f_{G}(x)=\int _{0}^{\infty }f_{G,S_{1}}(x,v)\,dv=Cx^{d_{1}/2-1}\int _{0}^{\infty }v^{(d_{1}+d_{2})/2}e^{-v(1+x)/2}\,dv.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc919dac15c5684dc0cd823f478da6d43074b991)
La integral de la dreta es pot calcular mitjançant la
funció gamma i, canviant
![{\displaystyle C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029)
pel seu valor, s'obté
![{\displaystyle f_{G}(x)={\frac {1}{B(d_{1}/2,\,d_{2}/2)}}\,{\frac {x^{d_{1}/2-1}}{(1+x)^{(d_{1}+d_{2})/2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40ed6c3984697b907ca531f98e8ef0c665b7703a)
Finalment, per calcular la densitat de
![{\displaystyle X={\frac {d_{2}}{d_{1}}}\,G,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf7f748b6ecb1808b7b0a4eb021c6da39307a7c4)
s'utilitza que si
![{\displaystyle Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f)
és una variable aleatòria amb funció de densitat
![{\displaystyle f_{Y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e8b3fed56c8af1f38961f6e4ec0d64fe50ecb4d)
, llavors la densitat de la variable
![{\displaystyle R=aY}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa33a75a264b3578a7ed82841ea0e61a6354ebee)
, amb
![{\displaystyle a>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f34a80ea013edb56e340b19550430a8b6dfd7b9)
, és
![{\displaystyle f_{R}(x)={\frac {1}{a}}f_{Y}{\bigg (}{\frac {x}{a}}{\bigg )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb79720b3e092a62e094c8ca66762bb2e73684a2)
Càlcul de la funció de distribució
Per a
![{\displaystyle x\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2608e2b392b079f5b763f27bf52883dbee3b64a)
tenim
![{\displaystyle F(x)={\frac {d_{1}^{d_{1}/2}\,d_{2}^{d_{2}/2}}{B(d_{1}/2,\,d_{2}/2)}}\int _{0}^{x}{\frac {t^{d_{1}/2-1}}{(d_{1}t+d_{2})^{(d_{1}+d_{2})/2}}}\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f86fafa9819ee70cba8c5ce4938e1ea5961d1bb2)
En aquesta integral es fa el canvi
![{\displaystyle t={\frac {d_{2}}{d_{1}}}\,{\frac {y}{1-y}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12c5e750e2ece4cecf11d1a56a7f15251455ea08)
i s'obté una integral del tipus funció beta.
Funció característica
Phillips [3] dona la següent expressió de la funció característica de
:
on
és la funció hipergeomètrica confluent de 2a. classe.[4] Vegeu Johnson et al.[1] per a un desenvolupament en sèrie de la funció característica.
Moments
Sigui
. Llavors
té moment d'ordre
si i només si
. En aquest cas,
En particular, si
, llavors
te esperança i val
Si
,
te moment de 2n ordre
i
Prova
Atès que
![{\displaystyle S_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bf84e7fd4fb8259a9b37f956afdf83ee2a020f9)
i
![{\displaystyle S_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1143e284d5f25cef778ab482edf6617a523ddd9f)
són positives i independents, tenim que
D'una banda, per les propietats de les distribucions khi quadrat,
D'altra banda,
La integral de la dreta és del tipus funció Gamma, i llavors, si
, tenim que
Si
, aleshores la integral val infinit.
Quan
![{\displaystyle n<d_{2}/2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/267f452b09d14a92cb03925c81ff5888bf8d839c)
ajuntant (1) i (2) s'obté el resultat.
Entropia
on
és la funció digamma. Vegeu Lazo and Rathie.[5]
Referències
- ↑ 1,0 1,1 Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, Narayanaswamy. «Chap. 27». A: Continuous univariate distributions. 2. 2. ed. Nova York: Wiley, 1995. ISBN 978-0-471-58494-0.
- ↑ Johnson, N. L.; Kotz, S.; Balakrishnan, N. Continuous Univariate Distributions, Volume 1. 2a edició. Nova York: Wiley, 1994, p. 417. ISBN 0-471-58495-9.
- ↑ Phillips, P. C. B. (1982) "The true characteristic function of the F distribution," Biometrika, 69: 261–264 JSTOR 2335882
- ↑ National Institute of Standards and Technology. «Formula 13.4.4». A: Olver, F. W., Lozier, D., Boisvert R., Clark, C. W.. NIST handbook of mathematical functions. Cambridge New York Melbourne: Cambridge University Press, 2010. ISBN 978-0-521-14063-8.
- ↑ Lazo, A.V.; Rathie, P. «On the entropy of continuous probability distributions». IEEE Transactions on Information Theory. IEEE, 24, 1978, pàg. 120–122. DOI: 10.1109/tit.1978.1055832.
Vegeu també
|
---|
|
Distribucions discretes amb suport finit | |
---|
Distribucions discretes amb suport infinit | |
---|
Distribucions contínues suportades sobre un interval acotat | |
---|
Distribucions contínues suportades sobre un interval semi-infinit | |
---|
Distribucions contínues suportades en tota la recta real | |
---|
Distribucions contínues amb el suport de varis tipus | |
---|
Barreja de distribució variable-contínua | |
---|
Distribució conjunta | |
---|
Direccionals | |
---|
Degenerada i singular | |
---|
Famílies | |
---|