Desigualtat de Maclaurin

En matemàtiques, la desigualtat de Maclaurin, que rep el nom del matemàtic escocès Colin Maclaurin, és un refinament de la desigualtat entre les mitjanes aritmètica i geomètrica.

Siguin a 1 , a 2 , … , a n {\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}} nombres reals positius qualsevols, per k = 1 , 2 , … , n {\displaystyle k=1,2,\dots ,n} definim les mitjanes S k {\displaystyle S_{k}} com:

S k = ∑ 1 ≤ i 1 < ⋯ < i k ≤ n a i 1 a i 2 ⋯ a i k ( n k ) . {\displaystyle S_{k}={\frac {\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}a_{i_{1}}a_{i_{2}}\cdots a_{i_{k}}}{\displaystyle {n \choose k}}}.}

El numerador d'aquesta fracció és el polinomi simètric elemental de grau k en les n variables a 1 , a 2 , … , a n {\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}} , és a dir, la suma de tots els productes de k nombres escollits de a 1 , a 2 , … , a n {\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}} . El denominador és el nombre de termes del numerador, que s'expressa amb el coeficient binomial ( n k ) {\displaystyle n \choose k} .

La desigualtat de Maclaurin és la següent cadena de desigualtats:

S 1 ≥ S 2 ≥ S 3 3 ≥ ⋯ ≥ S n n {\displaystyle S_{1}\geq {\sqrt {S_{2}}}\geq {\sqrt[{3}]{S_{3}}}\geq \cdots \geq {\sqrt[{n}]{S_{n}}}}

amb igualtat si i només si tots els a i {\displaystyle a_{i}} són iguals.

Per n = 2, això dona la desigualtat habitual entre les mitjanes aritmètica i geomètrica de dos nombres. El refinament que aporta Maclaurin a aquesta desigualtat es pot observar per exemple pel cas de n = 4:

a 1 + a 2 + a 3 + a 4 4 ≥ a 1 a 2 + a 1 a 3 + a 1 a 4 + a 2 a 3 + a 2 a 4 + a 3 a 4 6 ≥ a 1 a 2 a 3 + a 1 a 2 a 4 + a 1 a 3 a 4 + a 2 a 3 a 4 4 3 ≥ a 1 a 2 a 3 a 4 4 . {\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad {\frac {a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}{4}}\\[8pt]&{}\geq {\sqrt {\frac {a_{1}a_{2}+a_{1}a_{3}+a_{1}a_{4}+a_{2}a_{3}+a_{2}a_{4}+a_{3}a_{4}}{6}}}\\[8pt]&{}\geq {\sqrt[{3}]{\frac {a_{1}a_{2}a_{3}+a_{1}a_{2}a_{4}+a_{1}a_{3}a_{4}+a_{2}a_{3}a_{4}}{4}}}\\[8pt]&{}\geq {\sqrt[{4}]{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}}.\end{aligned}}}

La desigualtat de Maclaurin es pot provar utilitzant les desigualtats de Newton.

Referències

  • Biler, Piotr. Problems in mathematical analysis. New York, N.Y.: M. Dekker, 1990. ISBN 0-8247-8312-3. 

Aquest article incorpora material sobre la Desigualtat de Maclaurin de PlanetMath, que es troba sota la llicència Creative Commons Reconeixement/Compartir igual (by-sa).