Criteri de Leibniz

En anàlisi matemàtica, el criteri de Leibniz és un mètode, que deu el seu nom a Gottfried Leibniz, usat per demostrar la convergència de sèries alternades.

Una sèrie alternada és aquella sèrie matemàtica de la forma:

∑ n = 1 ∞ a n ( − 1 ) n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(-1)^{n}} amb an ≥ 0.

Llavors, la sèrie convergirà si la successió d'an és monòtona decreixent i convergent a zero (s'han de complir ambdues condicions). A més, si

∑ n = 1 ∞ a n ( − 1 ) n = L {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(-1)^{n}=L}

i

S k = ∑ n = 1 k a n ( − 1 ) n {\displaystyle S_{k}=\sum _{n=1}^{k}a_{n}(-1)^{n}}

la suma parcial Sk aproxima la suma de la sèrie amb un error:

| S k − L | ≤ | S k − S k + 1 | = a k + 1 {\displaystyle \left|S_{k}-L\right\vert \leq \left|S_{k}-S_{k+1}\right\vert =a_{k+1}}

La inversa, en general, no és certa.

Referències

  • Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., Nueva York, 1956. (3.4) ISBN 0-486-60153-6
  • Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, la cuarta edición, Cambridge University Press, 1963. (2.3) ISBN 0-521-58807-3